Висловлювання і висказивательной форми

Вивчаючи реальні процеси, математика описує їх, використовуючи чужий природний словесний мову, так і свій символічний. Опис будується за допомогою пропозицій. Але що б математичні пропозиції були достовірними, правильно відображали навколишнє нас реальність, ці пропозиції повинні бути істинними.

Але як дізнатися, справжнє чи хибне значення укладено в тому чи іншому математичному пропозиції? На це та інші запитання, з ним пов'язані, ми спробуємо відповісти в цьому параграфі. А зараз, коротко зауважимо, що кожне математичне пропозицію характеризується вмістом і логічною формою (структурою), причому зміст нерозривно пов'язане з формою, і не можна осмислювати найперше, не розуміючи другого. У зв'язку з цим вивчення математичних пропозицій в розділі "Елементи логіки" буде в основному пов'язано з розкриттям логічної структури математичних пропозицій.

Щодо понять і відносин між ними можна висловлювати різні думки. Мовний формою суджень є розповідні речення. Наприклад, в початковому курсі математики можна зустріти такі пропозиції:

1) число 12 - парне;

4) У числі 15 один десяток і 5 одиниць;

5) Від перестановки множників добуток не змінюється;

6) Деякі числа діляться на 3.

Бачимо, що пропозиції, використовуючи в математиці, можуть бути записані як на природному (російською) мовою, так і на математичному, з використанням символів. Далі, про пропозиції 1, 4, 5 і 6 можна сказати, що вони несуть вірну інформацію, а пропозиція 2 - помилкову. Щодо пропозиції х + 5 = 8 взагалі не можна сказати: справжнє воно чи хибне. Погляд на пропозицію з позиції - істину або брехня воно нам повідомляє - призвів до поняттю висловлювання.

Визначення. Висловлюванням в математиці називають пропозицію, щодо якого має сенс питання: істинно воно або помилково.

Наприклад, пропозиції 1, 2, 4, 5 і 6 - висловлювання, причому пропозиції 1, 4, 5 і 6 - справжні, а 2 - помилкове.

Висловлювання прийнято позначати прописними буквами латинського алфавіту: А, В, С, ..., Z. Якщо висловлювання А істинно, то записують: А - «і», якщо ж висловлювання А - помилково, то пишуть: А - «л».

«Істина» і «брехня» називаються значеннями істинності висловлювання. Кожне висловлювання або істинно, або хибно, бути одночасно тим і іншим воно не може.

Пропозиція х + 5 = 8 не є висловлюванням, так як про нього не можна сказати: істинно воно або помилково. Однак при підстановці конкретних значень змінної х воно звертається в висловлювання: істинне або помилкове. Пропозиція х + 5 = 8 називається висказивательной формою. Воно породжує безліч висловлювань однієї і тієї ж форми.

За кількістю змінних, що входять в висказивательную форму, розрізняють одномісні, двомісні і т.д. висказивательной формиі позначають: А (х), А (х, у) і т.д. Наприклад, пропозиція «Пряма х паралельна прямій у» - двомісна.

Слід мати на увазі, що в висказивательной формі змінні можуть міститися неявно. Наприклад, в пропозиції «Число парне», «Дві прямі перетинаються» змінних немає, але вони маються на увазі: «Число х - парне», «Дві прямі х і у перетинаються».

Визначення. Одномісній висказивательной формою, заданої на множині Х, називається пропозицію зі змінною, яка звертається до висловлювання при підстановці в нього значень змінної з безлічі Х.

Серед усіх можливих значень змінної нас в першу чергу цікавлять ті, які звертають висказивательную форму в істинне висловлення. Безліч таких значень змінних називають безліччю істинності висказивательной форми. Наприклад, безліччю істинності висказивательной форми х> 5, заданої на множині дійсних чисел, буде проміжок (5; ∞). Безліч істинності висказивательной форми х + 5 = 8, заданої на множині цілих невід'ємних чисел, складається з одного числа 3.

Домовимося позначати безліч істинності висказивательной форми буквою Т. Тоді, згідно з визначенням, завжди Т⊂Х.

Пропозиції, які ми розглядали, були простими, але можна навести приклади суджень, мовною формою яких будуть складні речення. Наприклад: «Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при підставі в ньому рівні». Природно виникає питання: як визначити значення істинності таких висловлювань і знаходити безліч істинності таких висказивательной форм?

Щоб відповісти на ці питання, необхідно познайомитися з деякими логічними поняттями.

У логіці вважають, що з двох даних пропозицій можна утворити нові пропозиції, використовуючи для цього союзи «і», «або», «якщо ..., то», «тоді і тільки тоді, коли», а також частка «не» або словосполучення «невірно, що». Слова «і», «або», «якщо ..., то», «тоді і тільки тоді, коли», а також частка «не» називають логічними зв'язками. Пропозиції, утворені з інших пропозицій за допомогою логічних зв'язок, називають складовими. Пропозиції, які не є складовими, називають елементарними.

Наведемо приклади складових пропозицій.

1) Число 28 парне і ділиться на 7.

Ця пропозиція утворено з двох елементарних: "число 28 парне", "число 28 ділиться на 7" за допомогою логічної зв'язки "і".

2) Число х менше або дорівнює 8.

Ця пропозиція утворено з двох елементарних: "число менше 8", "число x менше 8" за допомогою логічної зв'язки "або".

3) Число 14 не ділиться на 4.

Це складене висловлювання утворено з пропозиції "число ділиться на 4" за допомогою частки "не".

Ви, напевно, вже звернули увагу на те, що всі три пропозиції, будучи з логічної точки зору складовими, по своїй граматичній структурі - прості. Не завжди, але так буває: просте речення за своєю логічною структурі може бути складовим.

А як визначати значення складного висловлювання? Наприклад, істинно або хибно висловлювання "число 28 ділиться на 7 і на 9"? Елементарне висловлювання "число 28 ділиться на 7" входить до складеного, справжнє - це відомо з початкового курсу математики. Друге елементарне висловлювання "число 28 ділиться на 9" - помилкове (і це нам відомо). А яким буде в цьому випадку значення істинності складного висловлювання, утвореного із цих висловлювань за допомогою союзу "і"? Відповісти на це питання можна, якщо знати зміст цього союзу. Але так як складові висловлювання утворюються за допомогою і інших логічних спілок, то виникає необхідність в уточненні їх сенсу.

Крім того, уточнення сенсу використовуваних в математиці зв'язок обумовлено їх неоднозначним тлумаченням в повсякденній мові, що може привести до неоднозначного відповіді при знаходженні значення істинності складових висловлювань.

Отже, значення істинності елементарного висловлювання визначають, виходячи з його змісту з опорою на відомі знання. Щоб визначити значення істинності складного висловлювання, треба знати зміст логічних зв'язок, за допомогою яких воно утворене з елементарних, і вміти виявляти логічну структуру висловлювання.

Для виявлення логічної структури складеного пропозиції потрібно встановити:

1) з яких елементарних пропозицій утворено дане складене пропозицію;

2) за допомогою яких логічних зв'язок воно утворено.

Виявимо, наприклад, логічну структуру пропозиції "Якщо кути вертикальні, то вони рівні". Воно складається з двох елементарних пропозицій: пропозиції А - "кути вертикальні" і пропозиція В - "кути рівні". Сполучені вони в одне складне пропозицію за допомогою логічної зв'язки "якщо ..., то ...". Кажуть, що дане складене пропозиція має логічну структуру (форму): "якщо А, то В".

1. Серед наступних пропозицій, що розглядаються в початковому курсі математики, вкажіть висловлювання і визначте їх значення:

в) в будь-якому прямокутнику протилежні сторони рівні;

д) серед чотирикутників є такі, у яких всі сторони рівні;

е) число z - двозначне;

ж) твір чисел 4070 і 8 менше, ніж сума чисел 18396 і 14174;

з) число 6 є коренем рівняння (12 - х) × 4 = 24.

2. Які пропозиції з вправи 1 є висказивательной формами? Підставте в них значення змінної так, щоб вийшло:

а) істинне висловлювання;

б) хибне висловлювання.

3. Чи можна вважати висказивательной формами такі записи:

4. Знайдіть безліч істинності висказивательной форми 2х - 10 <0, заданной на множестве Х, если:

5. Зобразіть на координатній прямій безліч істинності кожного з пропозицій за умови, що всі вони задані на множині R:

Як можна записати, використовуючи загальноприйняті символи, безліч істинності кожного з даних пропозицій?

6. Зобразіть на координатній площині безлічі істинності наступних пропозицій за умови, що х, у належать R:

7. У наступних складових пропозиціях виділіть складові їх елементарні пропозиції і логічні зв'язки:

а) У трикутник АВС бісектриса ВD є медіаною і висотою;

в) Якщо запис числа закінчується цифрою 0, то число ділиться на 5;

г) Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли всі його кути рівні;

д) Невірно, що число 17 ділиться на 3;

е) Якщо a * b = 0, то а = 0 або b = 0.

8. Яка логічна структура (форма) наступних пропозицій:

а) Середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині;

б) Якщо число ділиться на 2 і на 3, то воно ділиться на 6;

в) Трикутник АВС не є рівностороннім.

9. Наведіть приклади математичних пропозицій, що мають логічну структуру виду:

10. Покажіть, що виконання учнями початкових класів наступних завдань пов'язано з поняттям висказивательной форми, області її визначення і безлічі істинності:

а) З ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 випишіть, які діляться на 3;

б) Назви всі числа, менші 7 (маються на увазі тільки цілі невід'ємні числа).