Віднімання чисел з різними знаками, математика

В курсі арифметики встановлено, що віднімання є дія, зворотне додаванню, за допомогою якого по даній сумі і по одному доданку знаходять інше доданок.

Користуючись цим визначенням, ми повинні розібрати, як треба виконувати віднімання відносних чисел.

Нехай треба з (+8) відняти (-3), т. Е. Нехай треба

Перше дане число виражає дану суму, друге - це складова, а над знайти інше доданок (для нього залишено місце після знака рівності), т. Е. Треба вирішити питання: яке число треба скласти з (-3), щоб в сумі вийшло ( +8)? Це питання запишемо в такій формі:

Але відразу це питання вирішити важко, а тому спочатку вирішимо більш простий, допоміжний питання: яке число треба скласти з (-3), щоб в сумі вийшов нуль. т. е.

На це питання відповідь ясна: треба взяти для невідомого доданка число, що має ту ж абсолютну величину, як і дане доданок, але зворотний знак, - в даному випадку треба для невідомого доданка взяти число +3. Тепер перейдемо до вирішення головного питання: ми взяли для невідомого доданка число + 3 і в сумі вийшов нуль, але нам треба отримати в сумі число +8, тому треба щоб і в інше доданок увійшло це ж число +8. Отже, невідоме доданок має складатися: 1) з +3, щоб в сумі вийшов нуль і 2) з +8, щоб цю суму «нуль» довести до необхідної +8. Тому на місці невідомого доданка пишемо + 3 + 8:

(+8) - (- 3) = + 3 + 8 = + 11.

Останнє (= + 11) написано на тій підставі, що числа + 3 і + 8 треба з'єднати в одне або скласти.

Ось ще приклади:

(- 7) - (+ 5) = - 5 - 7 = - 12.

Шукане доданок має складатися: 1) з -5, щоб в сумі вийшов нуль і 2) з -7, щоб доповнити цей нуль до необхідної суми, до -7. Склавши числа -5 і -7, отримаємо -12.

(- 3) - (- 8) = + 8 - 3 = + 5.

Шукане доданок має складатися: 1) з +8, щоб в сумі вийшов нуль і 2) з -3, щоб доповнити цей нуль до необхідної суми, до -3. Склавши числа +8 і -3, отримаємо +5.

Шукане доданок має складатися: 1) з -9, щоб в сумі вийшов нуль і 2) +7, щоб доповнити цей нуль до необхідної суми, до +7; склавши числа -9 і +7, отримаємо -2.

З цих прикладів бачимо, що віднімання в алгебрі складається лише в умінні розкривати дужки: треба друге число (дане доданок або віднімається) написати з протилежним знаком, а перше число (дану суму або зменшуване) написати з тим же знаком. Після того, як це зроблено, т. Е. Коли дужки розкриті, справа зводиться до складання, так як написані числа поруч з їх знаками, напр. в останньому прикладі: - 9 + 7.

Так як сума не змінюється від перестановки доданків, то можна числа, отримані в розібраних прикладах після розкриття дужок, переставити, щоб порядок був згоден з порядком даних чисел:

(+8) - (- 3) = + 8 + 3; (- 7) - (+ 5) = - 7 - 5;
- 3 - (- 8) = - 3 + 8; (+ 7) - (+ 9) = + 7 - 9.

щоб розкрити дужки при відніманні, треба перше число (зменшуване) написати без зміни і приписати до нього друге число (від'ємник) з протилежним знаком.

Зауважимо ще, що при позначенні вирахування перше число пишеться часто без дужок, а якщо воно позитивне, то, як вже відомо, знак + можна попереду не писати.

- 3 - (- 5) = - 3 + 5 = + 2; 1 - (- 6) = 1 + 6 = 7;
3 - (+ 3) = 3 - 3 = 0.

14. Приклади на додавання і віднімання. Нехай потрібно обчислити:

Ми станемо керуватися наступним порядком: якщо всередині будь-якої пари дужок немає інших дужок і немає дії, то ці дужки можна розкрити; якщо ж всередині цих дужок є дія (додавання), то треба спочатку його виконати. У нашому прикладі такий порядок: спочатку виконаємо додавання чисел, написаних всередині маленьких дужок, потім треба ці дужки розкритий, виконати додавання всередині квадратних дужок, розкрити квадратні дужки, виконати додавання всередині кручених дужок, розкрити ці дужки і, нарешті, скласти отримані числа:

Звичайно, при навику можна відразу виконувати кілька дій і, отже, вкоротити обчислення.
Ще приклад:

Нехай ще потрібно обчислити вираз:

Виконаємо обчислення по діям:

1) b - c = + 1 - (+ 4) = 1 - 4 = - 3;

2) e + f = (- 7) + (+ 2) = - 7 + 2 = - 5;

3) d + (- 5) = - 5 + (- 5) = - 5 - 5 = - 10;

4) (- 3) - (- 10) = - 3 + 10 = + 7;

5) - 3 - (+ 7) = - 3 - 7 = - 10.

Приклади для вправ:

Якщо взяти число нуль і додавати до нього по +1, то отримаємо ряд якої постійно збільшується цілих чисел:

Цей ряд збігається (див. Кінець п. 10) з натуральним рядом чисел, т. Е. З

Якщо ми, взявши число нуль, віднімемо з нього (+1), потім ще раз віднімемо (+1) і т. Д. То, згідно з тим, як ми це розуміли в арифметиці по відношенню до натурального ряду чисел, ми тепер визнаємо , що і тут станемо отримувати все дедалі менші цілі числа:

1) 0 - (+ 1) = - 1; 2) (- 1) - (+ 1) = - 1 - 1 = - 2;
3) (- 2) - (+ 1) = - 3 і т. Д.

Отримаємо, йдучи від нуля наліво, ряд зменшуються відносних чисел:

.... - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0.

Поєднуючи цей ряд з попереднім, одержимо повний ряд відносних чисел:

Цей ряд і вправо і вліво йде без кінця.

Будь-яке число в цьому ряду більше іншого, яке стоїть лівіше і менше будь-якого, що стоїть праворуч від нього. Так +1> -3; 0> -6; -5 <0; –3 <+2 и т. д.

У проміжках між цілими числами цього ряду можна вставити нескінченно багато дрібних чисел.