Велика радянська енциклопедія - конформне відображення

конформне відображення

Конформне відображення. конформне перетворення (математичне), відображення однієї фігури (області) на іншу, при якому дві будь-які криві, що перетинаються під деяким кутом у внутрішній точці першої фігури, перетворюються в криві другої фігури, пересічні під тим же кутом. Найпростіший приклад К. о. представляє подобу. Інший приклад - К. о. прямого кута на напівплощина. Його можна отримати, якщо кожен промінь. виходить з точки Про під кутом a до Ox, перетворити в промінь, що виходить з O 'під кутом 2a до O'x', і до того ж так, що кожна точка М. для якої OM = r, перетвориться в точку M ', для якої O'M '= r2. Т. к. М зображує комплексне число z = r (cosa + i sina), а M '- число z' = r (cos2a + isin2a) = z2, то можна сказати, що розглядається К. о. здійснюється за допомогою функції комплексного змінного z '= z2. Неважко переконатися в тому, що промені, паралельні сторонам кута, перетворяться при цьому в полупараболи із загальним фокусом в O '. Потрібно зауважити, що кути з вершиною в точці О змінюються, збільшуючись вдвічі; це не суперечить визначенню К. о. т. к. О не є внутрішньою точкою області. У загальному випадку К. о. будь-який криволінійний багатокутник Р, що лежить всередині відображається області, перетвориться в криволінійний багатокутник P 'з відповідно рівними кутами, але довжини сторін змінюються непропорційно. Якщо багатокутник Р зменшується, стягуючи в деяку точку A, то і P 'зменшується, стягуючи в відповідну точку A', при цьому відносини довжин сторін прагнуть до одного і того ж числа. яке залежить тільки від положення точки А (але не від розглянутих багатокутників); воно називається розтягуванням в даній точці. Зазначений факт дозволяє приблизно розглядати будь К. о. «В малому» (т. Е. В досить малій околиці кожної точки A) як перетворення подібності, сполучене, взагалі кажучи, ще з поворотом (наприклад, чотирикутники Р і P '). К. о. застосовується з давніх пір в картографії, коли потрібно частина поверхні земної кулі зобразити на площині (на карті) зі збереженням величин усіх кутків; прикладами таких К. о. є стереографічна проекція і Меркатора проекція. Більш спільне завдання К. о. довільної поверхні (або її частини) на іншу поверхню (або її частина) вивчається в диференціальної геометрії. Особливе місце займають К. о. одних областей площині на інші; їх теорія має істотні додатки в гідро- і аеромеханіці, електростатики і теорії пружності. Рішення багатьох важливих завдань виходить без праці, коли область. для якої ставиться завдання, має досить простий вигляд (наприклад, коло або напівплощина). Якщо ставиться завдання для іншої, більш складної області, то виявляється достатнім відображувати конформно найпростішу область на дану, щоб отримати рішення нового завдання з відомого рішення. Так, наприклад, завдання про визначення потоку нестисливої ​​однорідної рідини або газу. обтекающего циліндр з круговим перерізом, вирішується порівняно легко. Лінії струму (т. Е. Лінії, уздовж яких направлені швидкості частинок рідини), для цього випадку, тут представлено протягом при наявності циркуляції. Якщо відображувати конформно зовнішність кругового перетину циліндра на зовнішність поперечного перерізу крила літака (профілю крила), то лінії струму для випадку круглого циліндра перейдуть, як можна показати, в лінії струму при обтіканні крила. Знання відображає функції z '= f (z) дозволяє підрахувати швидкість потоку в будь-якій точці, обчислити підйомну силу крила літака і т. Д. Саме таким шляхом йшов Н. Е. Жуковський, створюючи теорію крила літака. Чи не всякі області площині допускають К. о. один на одного. Так, наприклад, кругове кільце, обмежене концентричними колами радіусів R1 і R2, де R1

Великий енциклопедичний словник

Питання відповідь:

Схожі слова

Найпопулярніші терміни

× Хто лайкнет,
тому весь рік велика удача!