векторна алгебра

Крім операцій додавання і множення на число на безлічі векторів визначені ще кілька операцій. Одна з них - скалярний твір, що дозволяє знаходити довжини векторів і кути між векторами за координатами векторів.

Визначення 10. 25 Скалярним твором векторів a і b називається число, яке дорівнює. де - кут між векторами a і b.

Зауваження 10. 4 Якщо один з векторів нульовий, то кут не визначений. Скалярний твір в цьому випадку вважається рівним нулю.

Скалярний твір позначається. або. або. Скалярний добуток вектора на себе, aa. позначається. Скалярний твір має такі властивості, які ми сформулюємо у вигляді теореми.

Доведення. Властивості 1,4,5,6 очевидним чином випливають з визначення скалярного твори. Властивість 8 отримаємо, якщо згадаємо, що нульовий вектор вважається ортогональним будь-якому вектору. Властивість 7 отримаємо з визначення скалярного твори, використавши пропозицію 10.13. в силу якого.

Доведемо властивість 2. В силу властивості 7, при. маємо. За пропозицією 10.14. Тому

Якщо. то властивість 2 очевидно.

Доведемо властивість 3. При властивість очевидно. Нехай. тоді

В силу пропозиції 10.15. Тому

Отже, все властивості доведені.

Отримаємо формулу для обчислення скалярного твори за координатами сомножителей в ортонормированном базисі.

Теорема 10. 3Еслі вектори в ортонормированном базисі задані своїми координатами. . то