2Отріцательная матриця
Ермітовим матріцаM розмірності буде називатися негативно певної. якщо
для всіх ненульових (або, еквівалентним чином, для всіх ненульових).
M буде називатися позитивно полуопределённой. якщо
для всіх (або, еквівалентним чином, для всіх).
M буде називатися негативно полуопределённой. якщо
для всіх (або, еквівалентним чином, для всіх).
Таким чином, матриця буде негативно певної, якщо всі її власні значення негативні, позитивно полуопределённой, якщо всі її власні значення невід'ємні, і негативно полуопределённой, якщо всі її власні значення непозитивні.
Матриця M буде позитивно полуопределённой тоді і тільки тоді, коли вона є матрицею Грама якогось безлічі векторів. На відміну від позитивно певної матриці дані вектори не обов'язково лінійно незалежні.
Для будь-якої матриці A виконується наступне: A * A - позитивно полуопределённая, а. Зворотне твердження також вірне: будь-яка позитивно полуопределённая матриця M може бути виражена як M = A * A (розкладання Холецкого).
Ермітова матриця не є ні позитивно, ні негативно полуопределённой називається невизначеною.
3Елементарние перетворення матріци.Вирожденние і невироджені.
Определеніе.Елементарнимі перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:
1) множення рядка на число, відмінне від нуля;
2) додаток до елемнтов одного рядка елементів іншого рядка;
3) перестановка рядків;
4) викреслювання (видалення) однієї з однакових рядків (стовпців);
Ті ж операції, що застосовуються для стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.
За допомогою елементарних перетворень можна до будь-якої рядку або стовпцю додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпців).
Виродження ілісінгулярной називають квадратнуюматріцу, визначник якої дорівнює нулю.
Еквівалентні умови вирожденність
Використовуючи різні поняття лінійної алгебри. можна привести різні умови вирожденність:
Рядки або стовпці матриці лінійно залежні.
Квадратна матриця A виродилися тоді і тільки тоді. коли існує ненульовий вектор x. такий, що Ax = 0. Іншими словами, лінійний оператор. відповідний матриці в стандартному базисі, має нульове ядро.
У матриці немає стандартної оберненої матриці. але є узагальнена зворотна матриця (або їх нескінченну кількість
4 Мінора і алгеброіческіе доповнення
Міноромелемента матриці n-го порядку називається визначник матриці (n-1) -го порядку, отриманий з матриці А викреслюванням i -го рядка і j-го стовпця.
При виписуванні визначника (n-1) -го порядку, в вихідному визначнику елементи знаходяться під лініями в розрахунок не приймаються.
Приклад 1. Скласти мінор, отриману з вихідної матриці:
.
Алгебраїчним доповненням Аijелемента аij матриці n-го порядку називається його мінор, взятий зі знаком, що залежить від номера рядка і номера стовпця:
тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінор, коли сума номерів рядка і стовпця - парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли сума номерів рядка і стовпчика - непарне число.
Приклад 1. Знайти алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці
ВИЗНАЧНИК МАТРИЦІ, детермінанти [determinant] - число, соответствующееквадратной матриці і отримане шляхом її перетворення за певним правилом. Звичайне позначення (для матріциA): detA. Напр. визначник (другого порядку) матриці
і обчислюється таким чином:
У загальному випадку (для квадратної матриці порядку n) ізелементов матріциA спочатку складають всі можливі твори ізn сомножителей кожне, що містять по одному елементу з кожного рядка і по одному елементу з кожного стовпчика, потім ці твори складаються за певним правилом.
Визначник матриці, в якій викреслені довільна рядок (напр. I -я), і довільний стовпець (напр.j -й), називаетсямінором. Він має (n - 1) -й порядок, т. Е. Порядок на 1 менше, ніж вихідний визначник.
Визначники використовуються при зверненні матриць (див. ТакжеАлгебраіческое доповнення), при решеніісістемлінейних рівнянь. зокрема при вирішенні задачмежотраслевого балансу.