Векторна алгебра частина ii

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів vector, vector позначається символом vectorvector (порядок записи сомножителей байдужий, тобто vectorvector = vectorvector).

Якщо кут між векторами vector, vector позначити через phi, то їх скалярний добуток можна виразити формулою

vectorvector = | vector || vector | cosphi (1)

Скалярний добуток векторів vector, vector можна виразити також формулою

vectorvector = | vector | прa vector або vectorvector = | vector | прb vector

З формули (1) випливає, що vectorvector> 0, якщо phi - гострий кут, vectorvector

Якщо вектори vector і vector задані своїми координатами:

то їх скалярний твір може бути обчислено за формулою

vectorvector = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

Звідси випливає необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.

Кут phi між векторами

дається формулою cosphi = vectorvector / | vector || vector |, або в координатах

Проекція довільного вектора S = на якусь вісь u визначається формулою

прu vector = vectorvector

де vector - одиничний вектор, спрямований по осі u. Якщо дані кути альфа, бета, гамма, які осі u становить з координатними осями, то vector = і для обчислення вектора vector може служити формула

прu vector = Xcosальфа + Ycosбета + Zcosгамма

Обчисливши внутрішні кути трикутника з вершинами A (1; 2; 1), B (3; -1; 7), C (7; 4; -2), переконатися, що цей трикутник рівнобедрений. Дивитися рішення.

Векторний добуток векторів

Векторним твором вектора vector на вектор vector називається вектор, що позначається символом [vectorvector] і визначається наступними трьома умовами:

1) Модуль вектора [vectorvector] дорівнює | vector || vector | sinphi, де phi - кут між векторами vector і vector;

2) Вектор [vectorvector] перпендикулярний до кожного з вектора vector і vector;

3) Напрям вектора [vectorvector] відповідає «правилом правої руки». Це означає, що якщо вектори vector, vector і [vectorvector] приведені до спільного початку, то вектор [vectorvector] повинен бути спрямований так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої спрямований по першого співмножники (тобто по вектору vector), а вказівний - за другим (тобто по вектору vector).

Векторний добуток залежить від порядку співмножників, саме:

Модуль векторного добутку [vectorvector] дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах vector і vector:

Саме векторне твір може бути виражено формулою

де vector - орт векторного твори.

Векторний добуток [vectorvector] звертається в нуль тоді і тільки тоді, коли вектори vector і vector колінеарні. Зокрема, [vectorvector] = 0.

Якщо система координатних осей права і вектори vector і vector задані в цій системі своїми координатами:

то векторний добуток вектора vector на вектор vector визначається формулою