Варіація функції 2
ВАРІАЦІЯ ФУНКЦІЇ, характеристика коливань функції. Для функції f (х), заданої на відрізку [а, b], варіацією називається точна верхня грань сум
взята з всіляке розбиття відрізання [а, b] точками а = х0 <х1 <. <хn = b. Значение этой верхней грани, если оно конечно, называют вариацией функции f на |а, b|. В этом случае функцию f называют функцией ограниченной вариации или функцией с конечным изменением. Множество таких функций обычно обозначают V.
Якщо похідна функції f неперервна на [а, b], то fЄV і варіація f дорівнює b ∫ a | f '(x) | dx. Функція f належить V в тому і тільки тому випадку, коли її можна представити у вигляді різниці двох зростаючих обмежених функцій. Функції з V безперервні усюди, за винятком не більше ніж рахункового безлічі точок, в яких вони мають розриви першого роду, і майже всюди мають похідну.
Функції обмеженої варіації введені М. Е. К. Жорданом (1881) у зв'язку з вивченням збіжності тригонометричних Фур'є рядів. Він довів, що ряди Фур'є для функцій f з V сходяться в кожній точці.
Функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в багатьох розділах математики, зокрема в теорії інтеграла Стілтьєса.
Розглядають узагальнення варіації функцій, коли замість верхньої межі сум (1) беруться верхні межі сум
де φ (t) - зростаюча безперервна позитивна при t> 0 функція і φ (0) = 0, наприклад, φ (t) = t р. р> 1.
Відомо кілька різних визначень варіації функцій багатьох змінних.
С. А. Теляковский.