Узагальнений критерій Гурвіца

Глава 2. Прийняття рішень в умовах невизначеності

Принцип побудови узагальненого критерію Гурвіца схожий на попередній. Всіх прийнятих в розрахунок наслідків присвоюється певний "питома вага". Значення критерію для альтернативи розраховується як зважена сума її результатів. Однак щоб уникнути недоліків "попередника", узагальнений критерій враховує всі результати кожної альтернативи.

Тоді, формула для розрахунку узагальненого критерію для i -ї альтернативи може бути записана наступним чином:

λq - коефіцієнт для q -го значення i -й альтернативи,

Виходить, що для використання узагальненого критерію Гурвіца необхідно призначити М (!) Коефіцієнтів λq. Звичайно, можна було б це зробити довільно. Але при великій кількості станів М це стає вельми трудомістким, так як необхідно, щоб коефіцієнти задовольняли як мінімум двом умовам:

1) сума всіх вагових коефіцієнтів має дорівнювати одиниці:

2) величини коефіцієнтів повинні відображати ставлення ЛПР до невизначеності:

1. а) для оптимістичного ЛПР кращі результати повинні мати більший "вага", причому, чим краще результат, тим більше "вага";
2. б) для песимістичного ЛПР - все навпаки - більший "вага" у гірших результатів, і чим гірше результат - тим більше "вага":

Щоб не призначати коефіцієнти довільно окремо були запропоновані формалізовані методи їх розрахунку, один і яких ми і розглянемо нижче.

Порядок застосування узагальненого критерію Гурвіца

1. Упорядковуємо матрицю гри таким чином, щоб результати кожної альтернативи розташовувалися в порядку неспадання. При цьому в одному стовпці матриці можуть виявитися результати, що відносяться до різних станів - це не суттєво. В результаті замість "старої" матриці гри Х ми отримуємо "нову" матрицю Y. де в кожному рядку результати розташовуються від найменшого до найбільшого:

2. Розраховуємо суми результатів по кожному колонку нової матриці Y:

3. Розраховуємо суму все результатів матриці:

4. Далі коефіцієнти λq визначаються в залежності від ставлення ЛПР до невизначеності.

4.1. Якщо ОПР оптиміст, то коефіцієнт λq для будь-якого q -го стовпчика визначається за формулою:

Оскільки для кожної альтернативи дотримується умова:

Тобто, чим краще результат, тим більше питома вага йому присвоюється.

Крім того, так як

то забезпечується виконання рівності:

Таким чином, отримані формальним шляхом коефіцієнти відповідають необхідним умовам.

4.2. Якщо ОПР песиміст, то визначення коефіцієнтів трохи складніше. Ми повинні забезпечити дотримання умови: гіршим наслідків - великі ваги. Це можна зробити, дзеркально помінявши місцями коефіцієнти, розраховані для оптимістичного ЛПР:

а) при непарній кількості станів М:

б) при парній кількості станів М:

Формальна запис залежності для розрахунку коефіцієнтів λq при песимістично налаштованому ЛПР виглядає наступним чином:

5. Тепер, маючи всі значення коефіцієнтів λq. можна розрахувати величину узагальненого коефіцієнта Гурвіца для кожної i -й альтернативи:

6. Оптимальною є стратегія, у якій найбільше значення узагальненого критерію Гурвіца:

Приклад застосування узагальненого критерію Гурвіца

Застосуємо узагальнений критерій Гурвіца для пошуку оптимального рішення в умовах завдання з п.2.7 (табл.2.2) для оптимістично і песимістично налаштованого ЛПР.

Будемо діяти відповідно до викладеного вище алгоритмом.

1. Впорядкуємо матрицю гри, розташувавши результати в порядку неспадання (см.табл.2.4).

2. Розрахуємо суми yq за стовпцями впорядкованої матриці:

3. Розрахуємо суму всіх результатів:

Табл.2.4. Упорядкована матриця гри Y (для прикладу).