Універсальна тригонометрическая підстановка, формули, приклади

У цій статті ми поговоримо про універсальну тригонометричної підстановці. Вона має на увазі вислів синуса, косинуса, тангенса і котангенс якого-небудь кута через тангенс половинного кута. Більш того, така заміна проводиться раціонально, тобто, без коренів.

Спочатку ми запишемо формули, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс через тангенс половинного кута. Далі покажемо висновок цих формул. А на закінчення розглянемо кілька прикладів використання універсальної тригонометричної підстановки.

Навігація по сторінці.

Синус, косинус, тангенс і котангенс через тангенс половинного кута

Для початку запишемо чотири формули, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс кута через тангенс половинного кута.

Зазначені формули справедливі для всіх кутів, при яких визначені входять до них тангенси і котангенс:

• Наприклад, формули для синуса і косинуса і мають місце для, де z - будь-яке ціле число. так як при тангенс половинного кута не визначений.
• Формула справедлива для і, так як при не визначено тангенс кута, і більш того звертається в нуль знаменник дробу, а при не визначено тангенс половинного кута.
• Формула, що виражає котангенс через тангенс половинного кута, справедлива для, так як при не визначено котангенс, при не визначено тангенс половинного кута, а при знаменник дробу звертається в нуль.

висновок формул

Розберемо висновок формул, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс кута через тангенс половинного кута. Почнемо з формул для синуса і косинуса.

Уявімо синус і косинус за формулами подвійного кута як і відповідно. Тепер вираження і запишемо в вигляді дробів зі знаменником 1 як і. Далі на базі основного тригонометричного тотожності замінюємо одиниці в знаменнику на суму квадратів синуса і косинуса, після чого отримуємо і. Нарешті, чисельник і знаменник отриманих дробів ділимо на (його значення відмінне від нуля за умови). У підсумку, весь ланцюжок дій виглядає так:

і

На цьому висновок формул, що виражають синус і косинус через тангенс половинного кута, закінчений.

Залишилося вивести формули для тангенса і котангенс. Тепер, з огляду на отримані вище формули, і формули і, відразу отримуємо формули, що виражають тангенс і котангенс через тангенс половинного кута:

Отже, ми вивели всі формули для універсальної тригонометричної підстановки.

Приклади використання універсальної тригонометричної підстановки

Для початку розглянемо приклад застосування універсальної тригонометричної підстановки при перетворенні виразів.