унітарна простір

Ермітовим скалярним твором в лінійному просторі L> над полем комплексних чисел називається функція ⟨⋅. ⋅⟩. L × L → C. \ times \ mathbb \ to \ mathbb,> задовольняє таким умовам:

• 1) (лінійність скалярного твори по першому аргументу)

∀ x 1. x 2. y ∈ L x_, x_, y \ in \ mathbb> і ∀ α. β ∈ C

\ Alpha, \ beta \ in \ mathbb> справедливі рівності: ⟨α x 1 + β x 2. y⟩ = α ⟨x 1. y⟩ + β ⟨x 2. y⟩. + \ Beta x_, y \ rangle = \ alpha \ langle x_, y \ rangle + \ beta \ langle x_, y \ rangle,>

(Іноді у визначенні натомість беруть лінійність по другому аргументу, що не є принциповим)

• 2) (ермітовим скалярного твори)

∀ x. y ∈ L> справедливо рівність ⟨y. x⟩ = ⟨x. y⟩ ¯ >>.

• 3) (позитивна визначеність скалярного твори)

∀ x ∈ L Іншими словами, скалярним твором називається позитивно певна ермітова форма ⟨⋅. ⋅⟩. L × L → C \ times \ mathbb \ to \ mathbb>.

Відзначимо, що над дійсним простором умова полуторалінейності еквівалентно білінійну, а ермітовим - симетричності, і скалярний твір стає позитивно певної билинейной симетричною функцією ⟨⋅. ⋅⟩. L × L → R \ times \ mathbb \ to \ mathbb>.