унітарна матриця

Унітарна матриця - квадратна матриця з комплексними елементами, результат множення якої на ермітовим пов'язану дорівнює одиничної матриці. $U\; ^\; \backslash \; dagger\; U\; =\; UU\; ^\; \backslash \; dagger\; =\; I$. Іншими словами, матриця унітарна тоді і тільки тоді, коли існує зворотна до неї матриця, яка задовольнить умові $U\; ^\; =\; U\; ^\; \backslash \; dagger$.

Унітарна матриця, елементи якої речовинні. є ортогональною.

Наступні твердження щодо даної квадратної матриці $A$ є еквівалентними:

інтерпретація

Унітарна матриця являє перетворення, що переводить ортонормованій базис комплексного векторного простору розмірності, що відповідає її розміру, в ортонормованій базис. (Це вірно для будь-якого ортонормированного базису).

Це еквівалентно твердженням, що перетворення, яке надається унітарною матрицею, зберігає скалярний добуток.

• Будь-унітарна матриця є нормальною.
• Твір унітарних матриць також є унітарною матрицею.
• Для будь-якої унітарної матриці $U$ існує така унітарна матриця $V$, що $V\; ^\; *\; UV$ - діагональна.
• Безліч всіх унітарних матриць порядку $n$ по множенню утворює унітарну групу $U\; (n)$ - (алгебраїчну) групу Лі над полем дійсних чисел.

Якщо визначник унітарної матриці $A$ дорівнює одиниці, її називають спеціальної унітарної матрицею. Модуль визначника унітарної матриці завжди дорівнює 1.

Безліч всіх спеціальних унітарних матриць порядку $n$ по множенню утворюють спеціальну унітарну групу $SU\; (n)$. Групи $SU\; (2)$ і $SU\; (3)$ грають важливу роль при викладі квантової механіки і фізики елементарних частинок.