Тор (поверхню)

Варіант забарвлення ділянок тора

• Площа поверхні тора як наслідок з першої теореми Гюльдена. S = 4 π 2 R r Rr>.
• Обсяг тіла. ограничиваемого тором (полноторія), як наслідок з другої теореми Паппа - Гюльдена. V = 2 π 2 R r 2 Rr ^>.
• Тор з вирізаним диском ( «проколоті») можна вивернути навиворіт безперервним чином (топологічно. Тобто серією дифеоморфізмів). При цьому дві пересічні перпендикулярно колу на ньому ( «паралель» і «меридіан») поміняються місцями. [3]
• Два таких «дірявих» тора, зчеплених між собою, можна продеформіровать так, щоб один з торів «проковтнув» інший. [4]
• Мінімальна кількість квітів, необхідне для розфарбовування ділянок тора так, щоб сусідні були різного кольору, так само 7. Див. Також Проблема чотирьох фарб.

Анімація, показує розрізання тора бікасательной площиною і дві виходять окружності Вілларсо

• При перетині тора бікасательной площиною получающаяся крива четвертого порядку виявляється вироджених: перетин є об'єднанням двох кіл званих колами Вілларсо.
  • Зокрема, відкритий тор може бути представлений як поверхня обертання кола зачепленою за вісь обертання
• Одне з перетинів відкритого тора - лемніската Бернуллі. інші криві лінії є графічними лініями і називаються кривими Персея [5] (спіріческімі лініями, перетинами тора площиною, паралельної його осі)
• Деякі перетину поверхні тора площиною зовні нагадують еліпс (криву 2-го порядку). Отримана таким чином крива виражається алгебраїчним рівнянням 4-го порядку [6].