теорія поля
Укладачі: Єлісєєв І.С. Сафіулліна Ф.Г. Сисоєв С.Є.,
Розглядаються основні поняття, положення і додатки математичної теорії поля, що сприяє розвитку у студентів кругозору в області геометричних уявлень, пов'язаних з теорією поля, з'ясуванню тісному взаємозв'язку між фізичними об'єктами теорії поля і відповідними математичними поняттями і структурами, що належать до певних, кратним і криволінійним інтегралом і диференціальних рівнянь.
Застосування теоретичних положень і математичного опису фізичних об'єктів пояснюється на прикладах різного ступеня складності, що сприяє формуванню умінь і навичок в додатку математичної теорії для вирішення практичних фізичних задач.
Призначені для студентів і осіб, що займаються самоосвітою, які вивчають спецглави математики, включають математичну теорію поля.
В методичні вказівки включені 30 варіантів індивідуальних завдань.
Іл. 6. Бібліогр. 4 наимен.
Рецензенти: доцент А.В. Рабчук;
доцент Л.М. Никульшина.
Укладачі: Єлісєєв Ігор Спартакович
САФІУЛЛІНА Фаузія Гатаевна
СИСОЄВ Сергій Єгорович
Халфіна Елеонора Хамзінічна
1. Скалярний поле. Похідна за напрямком і градієнт 4
2. Векторне поле. Векторні лінії 6
3. Потік векторного поля 8
4. Формула Остроградського. Дивергенція векторного поля 11
5. Лінійний інтеграл і циркуляція векторного поля 15
6. Ротор векторного поля. Формула Стокса 17
7. Потенційне векторне поле. обчислення лінійного
інтеграла в потенційному полі 20
8. Варіанти завдань 23
Список літератури 35
1 Скалярний поле. Похідна за напрямком і градієнт
Просторова область, в кожній точкекоторой задано певне число (скаляр) називаетсяскалярним полем. Скалярний поле задається скалярною функцією
,
певної в області. Якщо поле задано функцією двох змінних
,
то воно називається плоским. Скалярними є поле температур, поле тисків, поле щільності речовини і ін.
Геометричній характеристикою скалярного поля служать поверхні рівня - безлічі точок простору, в яких функція приймає постійне значення.
- рівняння різних поверхонь рівня при різних.
- рівняння ліній рівня.
дає похідну скалярного поля точкепо напрямку, где напрямок одиничного вектора дотичної до заданої лінії в точці. Похідна поля в даній точкепо направленіюхарактерізует швидкість зміни поля в цьому напрямку.
Градієнтом скалярного поля в точці називається вектор
Між похідною поля по направленіюі його градієнтом в точкесуществует наступна зв'язок:
де -кут між векторомі градієнтом в точці. З рівності (3) випливає, що в кожній точці, яка не є критичною, градієнт спрямований в бік максимального зростання поля, а модуль градієнта дорівнює величині швидкості цього зростання:
.
Завдання 1. Знайти похідну скалярного поля в точкеелліпсапо напрямку зовнішньої нормалі до еліпса в цій точці і градієнт поля в цій же точці.
Рішення. Напрям зовнішньої нормалі до еліпса в точкеперпендікулярно до напрямку дотичної до еліпса в цій точці. Точкалежіт на частини еліпса з рівнянням. Позначимо через-кут, який утворює напрям дотичній з віссю. тоді
.
Якщо позначити кут, утворений напрямом з віссю, через, то з умови перпендикулярності нормалі і дотичній отримаємо
.
Знаходимо напрямні косинуси вектора
і отримаємо за формулою (1)