теорія груп

Всі повороти кубика Рубіка складають групу.

Теорія груп - розділ математики. вивчає властивості груп. Група - це алгебраїчна структура з двомісній операцією, і для цієї операції виконуються наступні властивості: асоціативність. існування нейтрального елемента, існування зворотного елемента.

Часто група може являти собою безліч всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову якийсь перетворення, також можливі зворотні перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.

Наприклад, у кубика Рубіка безліч всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує зворотна, нейтральний елемент - відсутність трансформацій.

Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму. тобто такого зв'язку між різними групами, при якій групова операція зберігається. Гомоморфні групи різної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням інший. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних ортогональних матриць 3x3, груповий операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфізми теорія груп знайшла широке застосування в різних областях математики і фізики, оскільки дозволяє виділити загальні риси в об'єктах дуже різної природи.

[Ред] Історія

Теорія груп сформувалася в XIX столітті. Вона має три історичних кореня: теорія алгебраїчних рівнянь, теорія чисел і геометрія.

Основним завданням алгебри до XIX століття було рішення алгебраїчних рівнянь. В епоху Відродження були знайдені формули для вирішення рівнянь третього і четвертого ступенів. Було докладено значних зусиль для пошуку формул для рівнянь п'ятого і вищих ступенів, але понад два століття пошуків не дали бажаного результату. У 1770 році Жозеф-Луї Лагранж і Олександр Вандермонда помітили, що рішення рівняння зводиться до вивчення перестановок з його коренів. З 1799 Паоло Руффини в ряді робіт, присвячених цій темі, описав групу перестановок з п'яти елементів. У 1824 році Нільс Абель довів теорему, що для рівнянь п'ятого і вищих ступенів не існує загальної формули, що виражає коріння через коефіцієнти в радикалах (теорема Абеля-Руффини). Загальне рішення проблеми розв'язання алгебраїчних рівнянь отримав Еваріст Галуа в 1830 році. Саме Галуа ввів в своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.

Третій історичний шлях теорії груп лежав через теорію чисел. Значний внесок у становлення групового підходу до теорії зробили Леонард Ейлер. вивчав залишок від ділення ступенів, Карл Фрідріх Гаус. який цікавився пошуком коренів рівняння х n -1 = 0 для побудови правильних багатокутників і Леопольд Кронекера. працював над вивченням кінцевих абелевих груп, застосовуючи мову теорії.

[Ред] Застосування

Теорія груп має широку сферу застосування в математиці. фізики. хімії і в прикладних областях, наприклад, в комп'ютерній графіці. криптографії тощо.

У фізиці важливу роль відіграє поняття симетрії. Сукупність операцій симетрії становить групу. На основі вивчення цієї групи можна робити важливі висновки про властивості фізичних об'єктів. Наприклад, теорема Нетер встановлює той факт, що кожної симетрії відповідає певний закон збереження. Так, закон збереження енергії є результатом однорідності часу, закон збереження імпульсу випливає з однорідності простору, а закон збереження моменту імпульсу з ізотропності простору. Інші фізичні симетрії не настільки очевидні. У квантовій теорії поля існує поняття калібрувальних перетворень, відповідних фундаментальним симетрія світу елементарних частинок. Сукупність фундаментальних частинок за поданнями гомоморфна групам матриць з родини SU (n).

В кристалографії і хімії важливе значення мають операції симетрії, які описуються точковими і просторовими групами. Вивчення цих груп важливо для класифікації та визначення властивостей мінералів і молекул. Групи симетрії визначають, наприклад, структуру оптичних спектрів, спектрів раманівського розсіювання тощо.

[Ред] Література

• Хейне В. Теорія груп у квантовій механіці. - М. ІЛ, 1963. - 522 с.
• Хол М. Теорія груп. - М. ІЛ, 1962. - 468 с.