Теоретичні матеріали залежність між сторонами і кутами трикутника

2.5. Залежність між сторонами і кутами трикутника

Проти більшої сторони в трикутнику лежить більший кут (проти меншої сторони - менший кут).
Дано:. .
Потрібно довести:.

Для доказу відкладемо відрізок. рівний; .
Порівняємо величини кутів і (- зовнішній кут трикутника):. тому. Але. тому.

Проти рівних кутів в трикутнику лежать рівні сторони (тобто трикутник з двома рівними кутами - рівнобедрений).

Доведемо методом від противного. Припустимо, що проти рівних кутів лежать нерівні сторони. Тоді проти більшої з цих нерівних сторін лежав би більший кут (по теоремі 1), проте це суперечить умові що доводиться теореми (кути рівні). Отже, припущення не так і теорема доведена.

Теорема 3 (зворотна)

Проти більшого кута в трикутнику лежить більша сторона.
Дано:. .
Потрібно довести:.

Тут може бути правильним лише одне з трьох співвідношень: 1). 2),
3).
Але перший і другий випадки призводять до протиріччя з умовою що доводиться теореми () і тому неможливі.
Отже, вірний третій випадок.

Гіпотенуза більше кожного катета.

Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Доводиться на підставі аксіоми про порівняльну довжині відрізка і ламаної, що мають спільні кінці:
. де. і - сторони трикутника.

Сторона трикутника більше різниці двох інших його сторін.

Так як . то або.