Теореми Муавра-Лапласа, формули Лапласа, приклади рішень та теорія

Спасибі, що Новомосковскете і діліться з іншими

Нехай в кожному з незалежних випробувань подія A може статися з ймовірністю, (умови схеми Бернуллі). Позначимо як і раніше, через ймовірність рівно появ події А в випробуваннях. крім того, нехай - ймовірність того, що число появ події А знаходиться між і.

Локальна теорема Лапласа.

Якщо n - велике, а р - відмінно від 0 і 1, то

де - функція Гаусса (функція табульованого, таблицю можна завантажити на сторінці формул з теорії ймовірностей).

Інтегральна теорема Лапласа.

Якщо n - велике, а р - відмінно від 0 і 1, то

P (n; k1, k2) де - функція Лапласа (функція табульованого, таблицю можна завантажити на сторінці формул з теорії ймовірностей).

Функції Гаусса і Лапласа мають властивості. які необхідно знати при використанні таблиць значень цих функцій:

б) при великих вірно.

Теореми Лапласа дають задовільний наближення при. Причому чим ближче значення до 0,5, тим точніше дані формули. При маленьких або великих значеннях ймовірності (близьких до 0 або 1) формула дає велику похибку (в порівнянні з вихідною формулою Бернуллі).

Приклад. Для майстра певної кваліфікації ймовірність виготовити деталь відмінної якості дорівнює 0,75. За зміну він виготовив 400 деталей. Знайти ймовірність того, що в їх числі 280 деталей відмінної якості.

Рішення. За умовою, звідки

За таблицями знайдемо.

Шукана ймовірність дорівнює:

Приклад. В продукції деякого виробництва шлюб становить 15%. Вироби відправляються споживачам (без перевірки) в коробках по 100 штук. Знайти ймовірності подій:

В - навмання взята коробка містить 13 бракованих виробів;

С - число бракованих виробів в коробці не перевищує 20

Рішення. Виготовлення деталі - це випробування, в якому може з'явитися подія А - виріб бракований - з ймовірністю. Знаходимо. Можна застосовувати формули Лапласа:

Приблизно 9,5% всіх коробок містять 13 бракованих виробів і в 92% коробок число бракованих не перевищує 20.

Приклад. Невелике місто щодня відвідують 100 туристів, які вдень ідуть обідати. Кожен з них вибирає для обіду один з двох міських ресторанів з рівними можливостями і незалежно один від одного. Власник одного з ресторанів бажає, щоб c ймовірністю приблизно 0,99 всі, хто прийшов в його ресторан туристи могли там одночасно пообідати. Скільки місць повинно для цього бути в його ресторані?

Рішення. Будемо вважати, що подія відбулася, якщо турист пообідав у зацікавленого власника. За умовою завдання,. Нас цікавить таке найменше число відвідувачів, що ймовірність одночасного приходу не менше ніж туристів з числа з імовірністю успіху приблизно дорівнює ймовірності переповнення ресторану, тобто .

Таким чином, нас цікавить таке найменше число, що. Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа.

У нашому випадку: - невідомо,,,. тоді

Використовуючи таблиці для функції, знаходимо,, і, отже,. Отже, в ресторані має бути 62 місця.