Теорема Гаусса, електрикам

Твір напруженості електричного поля E і такий плоскою майданчика S, у всіх точках якої напруженість поля однакова і перпендикулярна до неї, становить потік N вектора напруженості через площадку S;

Якщо вектор напругою не перпендикулярний до майданчика, то необхідно визначати складову вектора напруженості перпендикулярну до майданчика, яку називають нормальної складової (рис. 1):

При обчисленні потоку через довільну поверхню площею S в неоднорідному полі цю поверхню слід розбити на малі плоскі елементи dS в межах кожного з яких напруженість поля можна вважати однаковою; потік через окрему елементарну площадку

Потік вектора напруженості через довільну замкнуту поверхню знаходиться підсумовуванням (інтеграцією) елементарних потоків:

Одиницю виміру потоку вектора напруженості знайдемо з формули (6):

[N] = [ES] = В / м * м 2 = В * м (8)

Рис.1 Нормальна складова вектора напруженості електричного поля, Рис.2 електричний заряд всередині сферичної поверхні

Як приклад знайдемо потік вектора напруженості поля точкового заряду Q, який міститься в центрі сферичної (кульовий) поверхні радіуса R (рис. 2).
Напруженість поля заряду Q однакова у всіх точках цієї поверхні і відповідно до (2)

Так як вектори напруженості перпендикулярні до сферичної поверхні, то En = E і проходить через поверхню потік вектора напруженості поля

так як - площа сфери

Підставивши в написану формулу вираз E, отримаємо

Як видно з (9), отримане для окремого випадку сферичної поверхні вираз потоку не залежить ні від форми поверхні, ні від місця розташування заряду всередині неї. Тому формула (9) справедлива для замкнутої поверхні будь-якої форми і довільно розташованих усередині неї зарядів, сумарне значення яких дорівнює Q.

Отже, потік вектора напруженості електричного поля крізь замкнену поверхню дорівнює відношенню сум зарядів, розташованих усередині цієї поверхні, до абсолютної діелектричної проникності середовища. Отримано співвідношення називають теоремою Гаусса.

Наочно потік зображують електричними лініями, так щоб вектор напруженості поля в будь-якій точці був дотичним до електричної лінії, проведеної через
цю точку. Електричні лінія поля нерухомих зарядів починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Число ліній, що перетинають цей майданчик, вибирають пропорційним значенню потоку N через цю площадку. На рис. 4.1 показаний електричні лінії точкового заряду + Q1.

Електричне поле нерухомих зарядів називають електростатичним.