Сума і перетин підпросторів
Сума і перетин підпросторів. Пряма сума підпросторів.
Нехай L - лінійний простір над полем Р. А і В - його підпростору. Сумою підпросторів А і В називають безліч А + В = a + b | а А, b B>.
Приклад 1. На площині вектори, що лежать на осі ОХ. складають підпростір А; вектори, що лежать на осі ОY. складають підпростір В. Безліч А + В збігається з, у чому можна переконатися, перевіривши включення А + В і А + В.
Теорема.Сумма підпростір і В лінійного простору L є його подпространством.
1. Базис суми підпросторів А =, В = збігається з базисом системи векторів.
2. Розмірність А + В дорівнює рангу системи векторів.
Приклад 2. У лінійному просторі A4 дані підпростору А = і В =, де = (1, 2, # 8209; 1, 3). = (2, 1, 4, 2). = (4, 5, 2, 8). = (6, 6, 6, 8). = (5, 4, 7, 7). = (4, 2, 8, 6). Знайти базис і розмірність підпростору А + В.
Рішення. Знайдемо базис А і базис В. Складаємо матриці М і N і шукаємо їх ранги. Матриця М складена з координат векторів по рядках. Матриця N складена з координат векторів по рядках.
Вектори, складають базис А. т. К. Координати цих векторів проходять через базисний мінор М2.
Вектори, складають базис В. т. К. Координати цих векторів проходять через базисний мінор М2.
Тоді А + В =
Значить r (H) = 3. Так як в базисний мінор входять координати векторів,, b1 то базис А + В складають вектори,,, dim (А + В) = 3.
Перетином підпросторів А і В лінійного простору L називається безліч.
Теорема. Перетин підпросторів лінійного простору L є подпространством L.
Теорема. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей доданків без розмірності їх перетину, т. Е.
З цієї формули знаходимо розмірність A B:
Так як розмірності підпросторів в правій частині цієї рівності ми вміємо знаходити, то за цією формулою можна знайти dim (A B).
Приклад 3. Для підпросторів А і В з прикладу 2 знайти базис і розмірність підпростору A B.
Рішення. Ми знайшли, що dim (А + В) = 3. dim (A) = 2. dim (B) = 2. Підставляючи в формулу (1), маємо:
Таким чином, dim (A B) = 1. Тепер залишається знайти базис A B. Для цього достатньо знайти один ненульовий вектор з A B, він і складе базис A B.
Записуємо покомпонентно це рівність, отримуємо систему лінійних однорідних рівнянь відносно невідомих.
Вирішуємо систему методом Гаусса:
Знайдемо нульове приватне рішення цієї системи, надавши вільної невідомої s2 нульове значення, наприклад s2 = 1.
При обраному значенні s2 змінні t1 = 1 і t2 = 2. Записуємо вектор х:
Ми знайшли ненульовий вектор з перетину A B, він становить базис A B. Підпростір A B =.
Якщо підпростору А і В задані однорідними системами рівнянь, то перетин A B буде визначатися системою, отриманої об'єднанням всіх рівнянь з цих систем. Будь-яка фундаментальна система рішень такої системи рівнянь є базисом перетину A B.
Приклад 4. Нехай підпростору А і В задані відповідно системами рівнянь
Знайти базис і розмірність підпросторів А + В і A B.
Підпростір У задається системою
Для знаходження А + В визначаємо базис А (ФСР системи рівнянь ()) і базис В (ФСР системи рівнянь ()). Вирішуємо систему (). ФСР складається з одного рішення (n # 8209; r = 4 # 8209; 3 = 1), - основні невідомі, - вільне невідоме. Отримуємо систему з системи ():
Вирішимо систему методом Гаусса:
ФСР: або (231, # 8209; 627, 1111, 506). Базис простору А - це вектор (231, # 8209; 627, 1111, 506) = а.
Вирішуємо систему (). ФСР складається з двох рішень (n # 8209; r = 4 # 8209; 2 = 2). Основні невідомі -, вільні -.
В якості базису підпростору В можна взяти вектори
Подивимося, чи є система векторів лінійно залежною або лінійно незалежною.
r (H) = 3. Система векторів лінійно незалежна, є базисом (А + В).
Знайдемо розмірність перетину (A B) підпросторів.
3 = 2 + 1-dim (A B). dim (A B) = 0, A B = 0. Базису немає. Для знаходження базису перетину підпросторів A B слід вирішити систему рівнянь
r (K) = 4r = n система має єдине нульове рішення. Тому A B = 0. Базису підпростору А В немає.
Нехай в L маємо підпростору А і В. Може виявитися, що А В = 0. Тоді сума підпросторів А + В називається прямою сумою і позначається А + В = А В.
Підпростір А + В позначимо через Н. Н = А + В. Н. Тоді записують: Н = А В. якщо Н = L, то L = А В. і кажуть: підпростір Н (лінійний простір L) є прямою сумою підпросторів А і В. Якщо L = А В. то підпростору А і В називають прямими доповненнями один одного в просторі L.
Теорема. Сума підпросторів А і В тоді і тільки тоді є прямою, коли розмірність суми підпросторів А і В дорівнює сумі розмірностей доданків, т. Е .:
Приклад 6. Підпростори А і В з прикладу 4 складають пряму суму, так як A B = 0.