Система відліку

Механічний рух завжди відносно. оскільки положення тіла в просторі можна визначити тільки по відношеннюдо будь-якому іншому тілу, яке можна розглядати як тіла відліку. З тілом відліку жорстко пов'язують систему координат, що дозволяє визначити координати тіла в різні моменти часу. Тіло відліку разом з системою координат називають системою відліку. Механічний рух завжди спостерігають (розглядають) в тій чи іншій системі відліку, при цьому один і той же рух виглядає по-різному в різних системах відліку.

Тіло відліку - довільно вибране тіло, щодо якого визначається положення інших тіл.

Система відліку - сукупність системи координат і годинника, пов'язаних з тілом відліку.

Найбільш вживана система координат - прямокутна (декартова), т. Е. Ортонормованій базис якої утворений трьома одиничними по модулю і взаємно ортогональними векторами. проведеними з початку координат.

Тоді положення точки в просторі можна описати двома способами:

1) векторних, т. Е. Задати радіус-вектор. Радіус-вектором називається вектор, проведений з початку координат в точку простору, де в даний момент часу знаходиться матеріальна точка;

2) координатним # 8209; задати три координати: x, y, z (рис. 1).

Положення точки А характеризується радіус-вектором

де - одиничні вектори (орти), збігаються з позитивними напрямками відповідних осей; - проекції радіус-вектора і одночасно координати матеріальної точки.

Модуль радіус-вектора визначається виразом

Рух матеріальної точки повністю визначено, якщо декартові координати матеріальної точки задано як функції часу:

Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки. Вони еквівалентні одному векторному рівняння руху точки:

Вектор переміщення - вектор, проведений з початкового положення рухомої точки в положення її в даний момент часу (приріст радіуса-вектора точки за розглянутий проміжок часу). Тоді вектор переміщення матеріальної точки з точки A в точку B визначається формулою (рис. 2)

Модуль вектора переміщення

Лінія, що описується рухається матеріальною точкою (або тілом) щодо обраної системи відліку називається траєкторією. Рівняння траєкторії можна отримати, виключивши параметр t з кінематичних рівнянь. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним.

Довжиною шляху точки називається сума довжин всіх ділянок траєкторії, пройдених цією точкою за розглянутий проміжок часу. Довжина шляху є скалярною функцією часу. Величини і збігаються лише в разі прямолінійного руху.

У межі # 916; t → 0 довжина шляху по хорді # 916; S і довжина хорди будуть все менше відрізнятися від шляху, тому:.

Швидкість - це векторнаявелічіна, яка визначає як швидкість руху, так і його напрямок в даний момент часу.

Вектором середньої швидкості (переміщення) за інтервал часу # 916; t називається відношення приросту радіуса-вектора точки до проміжку часу # 916; t

Направленіевектора середньої швидкості збігається з напрямом. Одиниця швидкості - м / с.

Середній (шляховий) швидкістю називається відношення пройденого точкою шляху до часу руху

Середня шляхова швидкість є скаляром.

Миттєва швидкість - це векторна величина, що дорівнює першій похідній за часом від радіуса-вектора розглянутої точки:

де - проекції вектора миттєвої швидкості на осі. . . відповідно. Дана швидкість є основною фізичною величиною, що визначає характер і напрям руху.

Модуль вектора миттєвої швидкості

Вектор миттєвої швидкості спрямований по касательнойк траєкторії в сторону руху. Модуль миттєвої швидкості (скалярнаявелічіна) дорівнює першій похідній шляху по часу.

З цієї формули виходить важливий наслідок:.

Довжина путіS. пройденого точкою за проміжок часу від t1 до t2. задається інтегралом: /

При прямолінійному русі точки напрямок вектора швидкості зберігається незмінним. Рух точки називається рівномірним. якщо модуль її швидкості не змінюється з плином часу (v = const), для нього

Якщо модуль швидкості збільшується з плином часу, то рух називається прискореним. якщо ж він убуває з часом, то рух називається уповільненим.

Прискорення - це векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості по модулю і напрямку.

Середнє прискорення в інтервалі часу # 916; t - векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості # 916; # 965; до інтервалу часу # 916; t:

Миттєвим прискоренням матеріальної точки називається векторна величина, яка визначається наступним виразом:

де - проекції прискорення на осі. . . відповідно.

Одиниця прискорення - м / с 2.

Модуль вектора миттєвого прискорення

Легко показати, що миттєве прискорення є другою похідною від радіус-вектора

У загальному випадку вектор миттєвого прискорення теж може бути функцією часу. тоді вводяться в розгляд похідні за часом більш високого порядку, наприклад

Оскільки в багатьох випадках напрямок вектора прискорення заздалегідь невідомо, вектор прискорення зручно представити у вигляді векторної суми

У цьому випадку вектор миттєвого прискорення називають повним прискоренням. Тоді називається нормальним (доцентровим) прискоренням і визначається наступним чином:

де - радіус кривизни траєкторії в даній точці, чисельно рівний радіусу кола, яка зливається з траєкторією на нескінченно малому її ділянці; - одиничний вектор нормалі, спрямований до центру кривизни.

Модуль вектора нормального прискорення

Нормальне прискорення направлено по нормалі до траєкторії до центру її кривизни O і характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості точки.

Другий доданок повного прискорення називається тангенціальним прискоренням

де - одиничний вектор, пов'язаний з рухомою точкою і спрямований по дотичній до траєкторії по вектору швидкості.

Модуль вектора тангенціального прискорення

Тангенціальноеускореніе характеризує швидкість зміни швидкості по модулю (рис. 4). Вектор тангенціального прискорення може бути як сонаправлени з вектором миттєвої швидкості (рівноприскореного руху), так і протилежний їй (равнозамедленно рух). Очевидно, якщо - рух прискорений; - рух сповільнений.

Модуль вектора повного прискорення при криволінійному русі

Мал. 4. Напрямок векторів прискорення і швидкості

Покажемо як величина нормального прискорення пов'язана зі швидкістю # 965; руху по колу і величиною радіусу R (рис. 5, а і б).

Для цього візьмемо на траєкторії руху дві близько розташовані точки 1 і 2, розділені інтервалом часу # 916; t (рис. 5, а). перенесемо вектор # 965; 2 паралельно самому собі в точку 1 і, відклавши на ньому відрізок, рівний по модулю вектору # 965; 1. отримаємо точку 3 (рис. б). Тоді вектор можна представити у вигляді суми двох векторів. при # 916; t → 0 кути # 945; і # 946; прагнуть відповідно до 0 ° і 90 °, тому вектор. спрямований по дотичній до траєкторії, буде характеризувати зміна числового значення швидкості, а вектор буде перпендикулярний до. отже,

Довжина дуги і відстань по прямій між точками 1 і 2 (рис. 5, а) при малих # 916; t → dt дорівнюватимуть dl 1,2 = dS1,2 = v dt. З подоби трикутників # 916, 10 2 (мал. 1.3а) і # 916; 1v1 3 (рис. 5, б) слід

Радіус кривизни траєкторії являє собою радіус кола, яка збігається з нею на даній ділянці траєкторії на нескінченно малому її ділянці. Центр такої окружності називають центром кривизни для даної точки кривої. Якщо елемент ділянки траєкторії дорівнює DS. то радіус кривизни траєкторії в даній точці визначають виразом:

де # 8209; кут, в межах якої укладено ділянку траєкторії DS. При прямолінійному русі нормальне прискорення відсутня, так як при цьому радіус кривизни R ® ¥. Величина зворотна радіусу кривизни називається кривизною.

Мал. 6. Приклади різних радіусів кривизни траєкторії

Основним завданням кінематики є визначення стану матеріальної точки (її радіус-вектора і швидкості в довільний момент часу t). Для цього необхідно, задати, по-перше, початкові умови - радіус-вектор і швидкість в початковий момент часу t = t0 і, по-друге, залежність прискорення від часу t. Тоді, використовуючи поняття інтеграла, для і можна записати наступні вирази:

Розглянемо конкретний вид наведених рівнянь для деяких окремих випадків руху матеріальної точки.

1. равнопеременное рух - це рух тіла з постійним прискоренням (). При виборі початкового моменту часу t0 рівним нулю, отримаємо:

Формули (2) дозволяють, наприклад, описати рух кинутого під кутом до горизонту тіла без урахування сил опору повітря () при його русі по параболічної траєкторії.

Векторна запис рівнянь (2) виявляється зручною в силу її «компактності» записи, однак, при вирішенні конкретних завдань, особливо в разі тривимірного руху, ці рівняння перетворюються в систему з шести проекційних рівнянь такого вигляду:

2. равнопеременное прямолінійний рух (;) буде спостерігатися в тих випадках, коли вектори прискорення і початкової швидкості будуть або паралельні один до одного, або спрямовані в протилежні сторони, або вектор буде дорівнює нулю:. У цих випадках проекція рівнянь (1) на вісь OX, спрямовану уздовж лінії руху тіла, призводить до наступних виразів: