Симетрія, "особливі" числа і відносини

1.2. Симетрія, "особливі" числа і відносини

Симетрія представляє таку особливість природи, про яку прийнято говорити, що вона фундаментальна, охоплює всі форми руху і організації матерії. Витоки поняття симетрії сягають глибокої давнини. В. І. Вернадський писав: ". уявлення про симетрії складалося протягом десятків, сотень, тисяч поколінь. Правильність його перевірена колективним реальним досвідом і спостереженням, побутом людства в найрізноманітніших природних земних умовах. Цей досвід багатьох тисяч поколінь ясно вказує на глибоку емпіричну основу цього поняття і її існування в тій матеріальної середовищі, в якій жила людина, в біосфері. Переходячи до історичного часу, ми бачимо, що поняття "симетрія" виросло на вивченні живих організмів і живої речовини, в першу чергу людини "[30, с. 178]. Саме поняття "симетрія", пов'язане з поняттям краси або гармонії, відбулося з Стародавньої Греції (5 ст. До н.е.). Грецьке слово s i m m m e t r i a означає щось гармонійне, однорідне, відповідне, пропорційне в об'єкті, тобто той спосіб узгодження багатьох частин, за допомогою якого вони об'єднуються в ціле. Піфагору належить безсмертна ідея про загальну гармонію, що лежить в основі світобудови. Закладена Пифагором віра в красу і гармонію природи, в простоту і доцільність її законів, побудованих на єдиних математичних принципах, окрилювала творчість найвидатніших учених від І. Кеплера (1571-1630) до А. Ейнштейна (1879-1953). Це і є дороговказ сучасного природознавства, той вічний джерело мудрості, який відкрив людству Піфагор.

Існують два уявлення про симетрії. Одне з них, що йде від античної культури, пов'язане з пропорціями; тут "симетрія означає той вид узгодженості окремих частин, яка об'єднує їх в єдине ціле" [29, с. 35]. Це найбільш давнє уявлення до 19 століття залишалося і найбільш поширеним в описі гармонії природних систем і систем, створених людиною. Друге подання про симетрії бере початок з 1872 року, коли німецький математик Ф.Клейна проголосив знамениту "Ерлангенського програму" [69]. За сучасним визначенням "симетрія - поняття, що характеризує перехід об'єктів в самих себе або один в одного при здійсненні над ними певних перетворень (перетворень симетрії); в широкому плані - властивість незмінності (інваріантності) деяких сторін, процесів і відносин об'єктів щодо деяких перетворень "[142, с. 603].

1) об'єкт - носій симетрії; в ролі симетричних об'єктів можуть виступати речі, процеси, геометричні фігури, математичні вирази, живі організми і т.д.

2) деякі ознаки - величини, властивості, відносини, процеси, явища - об'єкту, які при перетвореннях симетрії залишаються незмінними; їх називають симетричними або інваріантами.

3) зміни (об'єкта), які залишають об'єкт тотожним самому собі по інваріантним ознаками; такі зміни називаються перетвореннями симетрії;

4) властивість об'єкта перетворюватися по виділеним ознаками в самого себе після відповідних його змін.

Важливо підкреслити, що інваріант вторинний стосовно зміни; спокій відносний, рух абсолютно. Тому при виявленні інваріантів завжди необхідно вказувати, по відношенню до якої зміни (перетворення, операції, руху) вони є такими. Очевидно, що не має сенсу називати будь-яку величину "інваріантом", не вказавши щодо якого перетворення вона інваріантна. Отже, найважливішою характеристикою симетрії є безліч різних перетворень, що відтворюють даний об'єкт по будь-якою ознакою. Саме безліч подібних перетворень і є власне група симетрії. Іншим найважливішим аспектом симетрії поряд з групою перетворень є інваріантність. Тільки наявність певної групи перетворень і одночасно сталість деяких ознак системи, по відношенню до яких ці перетворення відбуваються, дає підставу говорити про симетрії.

В даний час відомі три фундаментальні симетрії: 1) структурна, 2) геометрична і 3) динамічна [136]. Виходячи з визначення симетрії Ю.А.Урманцева, наведеного нами вище, відмінні риси цих симетрій полягають у наступному.

Якщо ми в якості Про виберемо матеріальний об'єкт, як П - його геометричну фігуру, то це П разом з операціями І, які поєднують його по фігурі, дасть структурну симетрію. Структурна симетрія являє метод вивчення просторових і просторово представимо об'єктів.

Якщо ж в визначення симетрії в якості Про вибрати простір М, а в якості П - такі властивості фігур і такі пов'язані з фігурами величини, які залишаються незмінними щодо всіх взаімно- однозначних відображень М на себе, то поєднуючи те й інше, ми отримаємо геометричну симетрію . Выбирая соответствующие П и И можно получить в виде тех или иных симметрий геометрии Евклида, Лобачевского, Римана и др.

Якщо у визначенні симетрії в якості Про вибрати процес або взаємодія, як П - деякі його речі, властивості, відносини, їх комбінації, то ці П разом з зберігають їх реальними і (або) мислимими "фізичними" змінами дадуть динамічну симетрію.

З визначення симетрії видно, що в основному її можна вивчати двояко: 1) маючи безліч інваріантних ознак, далі шукати число, вид всіх зберігають ці П змін безлічі І (групу перетворень); 2) маючи сукупність змін, далі шукати число, вид всіх зберігаються при цьому ознак безлічі І (теорію інваріантів). Теоретично жоден двох основних шляхів вивчення симетрії НЕ краще. Тому в залежності від наявності встановлених інваріантів або груп перетворень в дійсності використовується відповідний шлях дослідження симетрії.

В наші дні ідея симетрії виконує важливу методологічну роль не тільки в математиці і фізиці, в техніці і мистецтві, але починає проникати в хімію і біологію. Безсумнівно, що використання методів симетрії неоціненно для пізнання біологічних явищ, для знаходження суті і простоти в цьому складному класі природних явищ. Існує думка, що використання симетрії і теорії груп в біології дозволить отримати навіть більш видатні результати, ніж у фізиці [194]. На жаль, симетрійного підхід до біологічних об'єктів як методологічний прийом став розвиватися тільки в останні десятиліття 20 століття. Найбільш глибоке і узагальнююче розвиток ідей біосиметрій і вичерпне виклад загальних завдань і наслідків дано в роботах Ю.А.Урманцева [136, 137, 139, 281]. Во многом благодаря работам Урманцева в биологии сформировалось новое научное направление - биосимметрика, изучающая вопросы симметрии, их нарушение, симметризацию и десимметризацию в живой природе, биологические инварианты, биологические законы сохранения и соответствующие группы преобразований. Ю.А.Урманцев вніс величезний вклад в розвиток майже всіх сторін біосімметрікі, особливо в створення теорій дісфакторов і біологічної ізомерії, на основі яких їм була розвинена універсальна ОТС [136-138]. У поясненні природи лівого і правого в симетрії був зроблений великий крок з введенням поняття діссімметрірующіх факторів (скорочено званих дісфакторамі), тобто таких відмінних рис і ознак у об'єктів, які роблять їх правими або лівими [133] Положення теорії біологічної ізомерії Ю.А.Урманцева і його ОТС принципово важливі для правильного розуміння діяльності живих систем. Значний внесок в біосімметріку зробив А.П.Дубров [55], який розробив важливий напрям в біології та медицині - функціональну біосімметріку. Функціональна біосімметріка обґрунтовує варіабельність медико-біологічних властивостей, параметрів і показників життєдіяльності людини, тварин, рослин і мікроорганізмів. Слід зазначити, що інтерес до симетрії серед вчених, що займаються проблемами організації біосистем, неухильно зростає. В останні роки з'явився ряд робіт, присвячених загальним проблемам симетрії живих систем і виявлення симетрії в конкретних біооб'єктах [36, 55, 103, 121, 123, 139, 281 і ін.]. У деяких з цих досліджень представлена ​​роль особливих чисел і безрозмірних відносин в організації живого і симетрійного перетвореннях живих систем.

Інтерес до чисел і їх зв'язку з об'єктами природи виник з часів глибокої давнини. Ще в 5 столітті до н.е. великий древнегреческий философ и математик Пифагор и его последователи пытались установить связь между числами и внешним миром. Піфагору і його учням приписують вираження: "Всі речі - суть числа", "Бог поклав числа в основу світового порядку", "Світ створений в наслідування числах". Як писав Б.Л.Варден, "Піфагорійці віддавалися математики, як чогось на кшталт релігійного споглядання, щоб наблизитися до божества" [26, c. 146]. Теорія Числа як єдиного організуючого принципу світобудови є стрижнем всієї філософської системи Піфагора. У навчанні піфагорійців багато незрозумілої для нас містики, заснованої на магії і обожнення чисел. Сама пифагорейская школа була фактично релігійно-філософським орденом, оповитий покровами таємничості зі своїми складними ритуалами, доступними розумінню лише присвячених. Разом з тим вчення піфагорійців, на думку багатьох сучасних дослідників, став найпотужнішим в історії пізнання фактором, який наклав сильний відбиток на весь подальший розвиток європейської філософії і в першу чергу математики. Величезна заслуга Піфагора полягає в тому, що він вперше ввів в математику метод докази, завдяки чому математика перетворилася в самостійну науку.

На думку А.Ф. Лосева, пифагорейская философия чисел, исследования пифагорейцев в области математики, астрономии и музыки “это - величайший вклад в сокровищницу мировой философии и науки, потому что возникновение математического естествознания в новое время философски было связано с идеями пифагореизма” [84, с. 260]. "Я не знаю жодної людини, - заявляє Б. Рассел, - який надав би такий вплив на людське мислення, як Піфагор" [40, с. 42]. Вважаючи, що світ є число, піфагорійці затвердили тим самим тезу про нерозривний зв'язок речей і чисел, що зумовило можливість "повернення" розроблених теорем "чистої" математики до практики. Як показав весь подальший хід розвитку науки, "піфагорійці, йдучи в числові операції, що не віддалялися від дійсності, а наближалися до неї" [121, с. 33]. Значна частина "Почав" Евкліда написана Піфагорійську математиками. Особливо великий їх вклад в теорію пропорцій, на якій грунтується вся антична наука і культура. Загально статус пифагорейских навчань проявився в різноманітті тих чи інших конкретних програм, які були пов'язані з розробкою проблем структурності, симетрії і гармонійності речей, чого не заважала, а тільки сприяла абстрактна абстрактність цих навчань від специфічних особливостей об'єкта, що розглядається як ціле.

В сучасній науці, як продовження традицій школи Піфагора, відроджується інтерес до "голим" числам. Як пише Ю.А.Урманцев, "числа виступають на передній план в самих" гарячих "точках науки: то при вивченні розподілу планет в Сонячній системі, то при поясненні суті коду спадковості, то при виведенні фундаментальних інваріантів в теоретичній фізиці, то при визначенні періодичної природи музичного ряду і таблиці Менделєєва "[136, с. 16-17]. Відзначимо, що ряд "особливих" чисел починається з глибини століть і триває до теперішнього часу. Історія фізичних безрозмірних постійних b = hc / q2 = 137,03. (З - швидкість світла, q - заряд електрона, z = h / 2 p. H - постійна Планка) і d = M / m = 1836,15. (M, m - маса протона і електрона) налічує всього кілька десятиліть, в той час як про існування числа p знали вже жерці стародавнього Єгипту і Вавилона. Ейнштейн і Планк, як вважає Г.Б.Аракелян [4], були першими, хто звернув увагу на той факт, що постійна Планка z і відношення q2 / c мають одну і ту ж розмірність. Відомо, що Ейнштейн намагався, хоч і безуспішно, встановити зв'язок між зазначеними величинами. В останні роки в фізиці встановлено, що набір світових констант, таких як швидкість світла, постійна гравітації і т.д. має дивовижну властивість. Навіть незначні їх зміни, порядку малих часток відсотка, привели б до такої зміни характеру світового процесу самоорганізації, який виключив би можливість появи у Всесвіті структур досить стабільних, таких, наприклад, як Сонячна система. При цьому була б виключена можливість появи в їх структурах живої речовини. Цей парадокс, іменований принципом антропності, змушує зовсім по-іншому побачити роль живого речовини у формуванні міросозданія. "Світ такий тому, що ми є", кажуть його дослідники. В наші дні встановлено [157], що різні "осмислені" комбінації світових констант (швидкості світла, постійної Планка, маси протона, радіуса Всесвіту і ін.) Призводять до безрозмірного співвідношенню 1040 для всіх основних фізичних параметрів без винятку: відстаней, зарядів, мас і часів! Відомо також, що числа e, i, p. 2 в різних поєднаннях входять в основні рівняння фізики. Ситуація така, що природа немов "благоволить" до цих чисел, байдуже "відкидаючи" інші. Поява у фізиці будь-яких чисел є, звичайно, неминучим наслідком застосування в ній апарату чистої математики як універсальний засіб для кількісного опису явищ природи. Однак, "все питання, - як пише Г.Б.Аракелян, -. в тому, чому при описі найбільш фундаментальних закономірностей з'являються саме ці, а не інші числа? "[4, c. 133]. В даний час можна сказати, що і серед фахівців-теоретиків, що займаються живими системами, інтерес до особливим числах і безрозмірним відносин (особливо, до золотого перетину) безсумнівно зростає. У зв'язку з цим можна відзначити ряд публікацій за останні десятиліття [36, 57, 73, 103, 111, 119, 121, 133, 152, 230, 244, 266-268 та ін]. Однак, незважаючи на зростаючу кількість публікацій, для більшості біологів особливі числа і пов'язані з ними проблеми організації живої речовини все ще залишаються на задньому плані як щось другорядне і містичне.

Сучасна філософія і методологія науки в цілому дуже високо оцінює діяльність Піфагора і його послідовників, їх внесок в розвиток людського пізнання [37]. Піфагор був неправий, коли ототожнював світ речей і чисел, однак він зумів намацати в світі речей світ чисел, тобто щось фундаментальне і до сих пір - загадкове. Положення Піфагора про те, що числа правлять світом, сьогодні варто було б сприймати як існування "безрозмірних" математичних структур, втілених в організації реально спостережуваних наукою об'єктів і явищ. У зв'язку з цим стає вкрай бажаним філософсько математичне дослідження зв'язків світу чисел з навколишнім світом живої і неживої природи. Cо часів Піфагора симетрія була для людей реальним виразом об'єктів і явищ природи, а не абстрактним, абстрактним поняттям. З цим пов'язано прагнення висловити прояви симетрії на точному мовою математики у вигляді закономірностей, заснованих на безрозмірних співвідношеннях. Такий закономірністю, чудовою у багатьох відношеннях, є пропорція, встановлена ​​2500 років тому і яка отримала згодом назву "золотого перетину". Ця пропорція має безпосереднє відношення до багатьох витворів природи і діяльності людини. Подання ролі "золотий" пропорції в "симетрійного" організації діяльності серця людини і ссавців становить мета даної книги. З цієї причини вважається за необхідне розглянути, чим цікава ця пропорція і чому вона привертала до себе розум і почуття багатьох видатних мислителів минулого і продовжує хвилювати уми наших сучасників.