Сили і напруги в суцільному середовищі

У МСС прийнято розділяти всі сили на зовнішні і внутрішні.

Зовнішні сили виникають в результаті взаємодії суцільного середовища з іншими тілами. Такі сили викликають або можуть викликати зміну кількості руху і кінетичної енергії виділеного обсягу. Типовим прикладом зовнішньої сили для об'єктів, що знаходяться поблизу поверхні Землі, є гравітаційна сила - сила тяжіння.

Внутрішні сили виникають в результаті взаємодії елементів суцільного середовища. Вони не можуть змінити кількість руху цього обсягу, так всередині нього кожна внутрішня сила врівноважується рівної їй по модулю внутрішньою силою, що має протилежний зміст. Разом з тим робота внутрішніх сил може змінити кінетичну і (або) потенційну енергію розглянутого об'єму тіла. Прикладами внутрішніх сил є сила тиску, що діє на поверхню, побудовану всередині виділеного об'єму рідини; сила тертя між шарами рідини, що рухається.

Зовнішні та внутрішні сили можуть бути об'ємними (масовими) і поверхневими.

Величина об'ємних (масових) сил пропорційна обсягу (маси) рідини або газу, на який вони діють. Характеристикою об'ємної (масової) сили є щільність розподілу цієї сили в просторі. Це векторна величина. яка дорівнює силі, що діє на одиницю об'єму (маси) - прискорення. Розглянемо як приклад силу тяжіння. Щільність її розподілу - вектор рівний по модулю прискоренню вільного падіння. Якщо прийняти осі х і у горизонтальними, а z направити вертикально вгору, то щільність розподілу сили тяжіння. де g = 9,81 м / с 2 - прискорення вільного падіння. При цьому вага обсягу дорівнює:

Фізично поверхневі сили обумовлені силами ближнього взаємодії молекул, розташованих по різні боки від даної поверхні, і перенесенням молекул крізь цю поверхню в процесі їх теплового руху. Характеристикою поверхневої сили є її розподілу по поверхні, яке називається напругою.

Напруга. У перетині суцільного середовища на довільно орієнтованої майданчику з нормаллю діє вектор напруги (рис.1.10). Його можна розкласти на дві складові нормальну напругу і - дотичне напругою на даному майданчику. Якщо майданчик лежить в площині нормальної осі координат, то напруга визначається трьома величинами - проекціями на відповідні осі (рис.1.11). Напруження на майданчиках, нормальних осях, визначаються залежністю:

Розглянемо в суцільному середовищі елементарний об'єм - силовий тетраедр (рис.1.12). Три грані якого належать координатним площинам, а четверта нормальна. Напруга. чинне на. може бути охарактеризоване трьома проекціями pnx. pny і pnz на координатні осі х, у і z і залежить від напрямку майданчика нормалі до.

Перший індекс вказує на напрямок майданчики, другий - на вісь проектування.

Застосуємо до другої закон Ньютона (сила = масі помноженої на прискорення):

Розділимо все на і переходячи до межі. з урахуванням отримаємо формули Коші для напруги на довільно орієнтованої майданчику, що проходить через дану точку:

Силовий тетраедр. рис.1.12

Звернемо увагу, що цей вислів є твір якогось обекта, що задається матрицею 3х3 на вектор одиничної нормалі. Даний об'єкт називається тензором напружень:

Складаючи три основних рівняння рівноваги тетраедра - три рівняння моменту. Зручно робити це щодо осей, що проходять через центр мас - точку з координатами. В цьому випадку в рівняннях з 12 напружень, будуть присутні, тільки по два дотичних, а решта будуть або паралельні обраної осі, або будуть проходити через неї. В результаті отримуємо

ці рівності виражають закон взаємності дотичних напружень, а сам тензор напружень є симетричним.

Таким чином, напружений стан суцільного середовища в будь-якій точці однозначно визначається шістьма величинами напружень, які і складають симетричний тензор.

Якщо грань тетраедра збігається з поверхнею твердого тіла, то проекції вектора напружень збігаються з проекціями зовнішнього навантаження

Так як тензор напружень симетричний, то завжди можна вибрати таку систему координат, в якій він буде мати діагональний вид. Для цього необхідно вирішити характеристичне (вікове) рівняння:

Рішенням характеристичного рівняння є три величини. які називаються головними напруженнями, а напрямки нормалей до майданчиків на які вони діють - головними осями напруженого стану системи.

Розглянемо нескінченно малий відрізок dS (рис.1.12). проекції якого на осі декартової системи координат dx, dy, dz. Нехай при деформації точка M зміщується, причому проекції її переміщення. В теорії пружності розглядаються деформації і переміщення, тобто такі величини, для яких їх творами і квадратами можна знехтувати. Тоді проекції переміщення точки M 'будуть:

Проекції dS *. в який переходить відрізок dS після деформації:

Обчислюючи і відкидаючи члени другого порядку, одержимо:

Дані шість величин повністю характеризують деформаційне стан тіла і складають тензор деформації:

Розберемося з фізичним змістом цих величин. Введемо відносне подовження відрізка

Тоді для малих деформацій

або в проекціях

Таким чином, діагональні компоненти рівні подвоєним Відносне подовження нескінченно малих відрізків, які до деформації були паралельні координатним осях.

Розглянемо, як змінюються кути при деформації. Візьмемо площину 0zy (рис.1.13) і подивимося як зміниться спочатку прямий кут між відрізками dy і dz. Видно, що з точністю до нескінченно малих другого порядку цей кут зміниться на те є на.

Таким чином, недіагональні складові є величина зміни спочатку прямого кута між відповідними нескінченно малими відрізками після деформації. Величини. . прийнято називати зрушеннями.

Наведемо остаточний вигляд записи тензора деформацій:

Якщо ввести позначення отримаємо форму записи зв'язку переміщень з компонентами тензора деформацій (співвідношення Коші):

Тензор деформації і тензор напруги подібні, це дозволяє виявити важливі властивості деформованого стану.

Нехай в тілі створені напруги пропорційні деформацій,

Було показано, що для кожної точки напруженого стану існують такі орієнтації майданчиків, на яких реалізуються головні напруження. тоді:

Таким чином, в деформованому тілі існують три напрямки, зрушення між якими дорівнюють нулю. Прямі, проведені за цими напрямками, називаються головними осями деформованого стану в даній точці. Відносні подовження за цими напрямками називаються головними подовженнями:

Виконавши заміну в характеристичний рівнянні, отримаємо так само кубічне рівняння

Коефіцієнти в віковому рівнянні, що визначаються формулами (1.5.19) називають інваріантами тензора деформацій.

Зв'язок між тензором напружень і тензором деформацій, визначає фізичну модель суцільного середовища (її реологию). Зокрема, для моделі ізотропних пружних тіл, мають місце співвідношення узагальненого закону Гука відомі з курсу опору матеріалів. У прийнятих позначеннях компонентів тензорів напруг і деформацій вони такі:

Тут Е і G - модулі Юнга (модуль поздовжньої пружності) і зсуву, n - коефіцієнт Пуассона. Вони пов'язані відомою залежністю.

В ході вирішення завдань теорії пружності виникає необхідність в зворотних співвідношеннях, коли напруги виражені через деформації. В цьому випадку отримуємо

У разі текучих середовищ зв'язок між тензорами напруг і деформацій відсутня. І в розгляд вводиться тензор швидкостей деформацій:

А модель суцільного середовища визначається залежністю між тензором напружень і тензором швидкостей деформацій. Так для ньтоновскіх рідин використовується співвідношення, зване узагальнений закон Ньютона:

Найбільш простою моделлю є модель «ідеальної» рідини:

Експериментальні дані та загальні фізичні уявлення показують, що при високих температурах і тисках будь-яке середовище практично володіє властивостями ідеальної рідини.