Щільність і функція розподілу

Вище були розглянуті закони розподілу дискретних випадкових величин.

Яким чином можна уявити закон розподілу неперервної випадкової величини, тобто величини, яка може приймати будь-які значення на деякому проміжку числової осі, і число її можливих значень завжди нескінченно?

Для неперервної випадкової величини ймовірність того, що вона прийме якесь одне певне значення, завжди дорівнює нулю. Але можна визначити ймовірність того, що ця величина прийме значення з деякого проміжку.

Для цього можна використовувати функцію щільності розподілу ймовірності f (x) (її ще називаютплотностью ймовірності іліплотностью розподілу).

Імовірність того, що неперервна випадкова величина х набуде значення з деякого проміжку [a; b], визначають за формулою:

де підінтегральної функції f (x) називають щільністю розподілу.

З формули для видно, що ця ймовірність є не що інше, як площа під кривою графіка щільності ймовірності f (x) на проміжку [a; b]. Це випливає з геометричного сенсу певного інтеграла.

Якщо випадкова величина х може набувати значень на всій числовій осі, то її щільність розподілу f (x) має відповідати умовам:

Якщо х розподілена не на всій числовій осі, а на деякому її проміжку, відповідно беруться кордону цього проміжку.

Перше з умов для щільності ймовірності означає, що ймовірність не може бути негативною, а друге - що сума ймовірностей на всьому просторі подій повинна бути дорівнює 1.

Відзначимо, що для дискретної випадкової величини функцію Р (х), що визначає закон її розподілу (ймовірність, що вона прийме задане значення), теж називають щільністю ймовірності:.

Крім того, закон розподілу випадкової величини може бути заданий функцією розподілу ймовірності (або простофункціей розподілу) F (а). Ця функція визначена на множині дійсних чисел і являє собою ймовірність того, що випадкова величина прийме значення х, менше а: F (а) = P (х <а).

Для дискретної випадкової величини, причому ця функція буде ступінчастою, так як щільність ймовірності визначена тільки для дискретних значень (а функція розподілу визначена на всій числовій осі для будь-яких випадкових величин). Тому суворе визначення неперервної випадкової величини вводиться через поняття функції розподілу: випадкову величину називаютнепреривной. якщо неперервна її функція розподілу.

Уявімо графічно функцію розподілу дискретної випадкової величини для розглянутого раніше прикладу, в якому гравець міг виграти або програти певну суму з заданими ймовірностями. Щільність ймовірності виграшу х була задана таблично (у другому рядку таблиці 1). Припишемо до таблиці 1 значення функції розподілу для дискретних значень х (табл.3), а крім того, поміняємо стовпці місцями, щоб розташувати значення випадкової величини по зростанню (для зручності побудови графіка).

Імовірність того, що виграш складе менше, ніж (-300), нульова. Тому для а ≤ -300 F (a) = 0 . Менше виграти (більше програти) просто не можна.

Імовірність того, що виграш буде менше 500, дорівнює 0,7, тобто F (500) = = 0,7. Справді, такий виграш можна отримати, тільки програвши 300 з ймовірністю 0,7. Імовірність виграти менш 499, 400, 350 і т.д. від -300 до 500 (включаючи 500) також дорівнює 0,7 з тієї ж причини. Тому для -300 <а ≤ 500F(a) = 0,7.

Імовірність виграти менше 1000 дорівнює 0,9, так такий виграш означає, що виграно або -300, або 500, і по аксіомі складання 0,2 + 0,7 = 0,9. Отже, F (1000) = 0,9. З тієї ж прічінеF (501) = F (510,5) = = F (800) = ... = 0,9, тобто для 500 <а ≤ 1000F(a) = 0,9.

І, нарешті, для будь-якого виграшу понад 1000 ймовірність виграти менше цього значення випадкової величини дорівнює 1. Тому що ця подія - достовірне. Всі можливі значення виграшу менше 1000. Отже для а> 1000F (a) = 1.

Побудуємо графік цієї функції розподілу, який буде мати вигляд ступінчастої функції (рисунок 12).

Функція розподілу F (x) має такі властивості:

1) 0 ≤ F (x) ≤ 1 (за властивостями ймовірності);

2), тобто F (x) монотонно убуває на всій числовій осі (доказ опустимо);

3), як ймовірність неможливої ​​події;

4), як ймовірність достовірної події;

5) ймовірність можна обчислити за допомогою функції розподілу, як приріст цієї функції: (доказ опустимо).

Таким чином, ймовірність можна обчислити як за допомогою функції розподілу, так і за допомогою щільності розподілу :.

Між щільністю ймовірності і функцією розподілу неперервної випадкової величини існує наступна зв'язок:

.

Іншими словами, значення функції розподілу буде являти собою площу під кривою графіка щільності ймовірності f (x) на проміжку] -; а].

З іншого боку, щільність ймовірності неперервної випадкової величини, є похідною її функції розподілу: f (x) = F` (х).

Тому функцію розподілу іноді називають інтегральною функцією розподілу. а щільність розподілу диференціальне функцією розподілу. Графік щільності розподілу прийнято називатькрівой розподілу.

Для неперервної випадкової величини дещо інший вигляд прийме формула математичного очікування (замість суми береться інтеграл, який повинен абсолютно сходиться, інакше математичне очікування не існує) :.