Середні і граничні помилки вибіркового спостереження - студопедія
Для характеристики надійності вибіркових показників розрізняють середню і граничну помилки вибірки, які властиві тільки вибірковим спостереженням. Дані показу-ки відображають різницю між вибірковими і відповідаю-ські генеральними показниками.
Середня ошібкавиборкі визначається перш за все обсягів по-мом вибірки і залежить від структури і ступеня варіювання досліджуваної ознаки.
Сенс середньої помилки вибірки полягає в наступному. Розраховані значення вибіркової частки (w) і вибіркової середньої () за своєю природою випадкові величини. Вони можуть приймати різні значення в залежності від того, які кон-Конкретні одиниці генеральної сукупності потраплять до вибірки. Наприклад, якщо при визначенні середнього віку працівників підприємства в одну вибірку включити більше молоді, а в іншу - працівників старшого віку, то вибіркові середні і помилки вибірки будуть різними. Середня помилка вибірки визначається за формулою:
(27) або - повторна вибірка. (28)
де: # 956; - середня помилка вибірки;
# 963; - середньоквадратичне відхилення ознаки у генеральній сукупності;
n - обсяг вибірки.
величина помилки # 956; показує, наскільки середнє значення ознаки, встановлене за вибіркою, відрізняється від істинного значення ознаки в генеральній сукупності.
З формули випливає, що помилка вибірки прямо пропорційна середньому квадратичному відхиленню і обернено пропорційна кореню квадратному з числа одиниць, що потрапили у вибірку. Це означає, наприклад, що чим більше розкид значень ознаки в генеральній сукупності, тобто чим більше дисперсія, тим більше повинен бути обсяг вибірки, якщо ми хочемо довіряти результатам вибіркового обстеження. І, навпаки, при малій дисперсії можна обмежитися невеликим числом вибіркової сукупності. Помилка вибірки при цьому буде знаходитися в прийнятних межах.
Оскільки при бесповторном відборі чисельність генеральної сукупності N в ході вибірки скорочується, то в формулу для розрахунку середньої помилки вибірки включають додатковий множник
(1). Формула середньої помилки вибірки приймає наступний вигляд:
Середня помилка менше у бесповторной вибірки, що й обумовлює її більш широке застосування.
Для практичних висновків потрібна характеристика генеральної сукупності на основі вибіркових результатів. Вибіркові середні і частки поширюються на генеральну сукупність з урахуванням меж їх можливої помилки, причому з гарантує її рівнем імовірності. Поставивши собі за конкретним рівнем імовірності, вибирають величину нормованого відхилення і визначають граничну похибку вибірки.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки Х по Х * називають ймовірність # 947 ;. з якої здійснюється нерівність
# 1472; Х-Х * # 1472;<δ, (30)
де # 948; - гранична помилка вибірки, що характеризує ширину інтервалу, в якому з ймовірністю # 947; знаходиться значення досліджуваного параметра генеральної сукупності.
Довірчим називають інтервал (Х * - # 948 ;; Х * + # 948;), який покриває досліджуваний параметр Х (тобто значення параметра Х знаходиться всередині цього інтервалу) із заданою надійністю # 947 ;.
Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості # 947; беруть число, близьке до одиниці: 0,95; 0,99 або 0,999.
гранична помилка # 948; пов'язана із середньою помилкою # 956; таким співвідношенням:. (31)
де: t - коефіцієнт довіри, що залежить від імовірності P, з якої можна стверджувати, що гранична помилка # 948; не перевищить t-кратну середню помилку # 956; (Його ще називають критичними точками або квантиль розподілу Стьюдента).
Як випливає зі співвідношення. гранична помилка прямо пропорційна середньої помилку вибірки і коефіцієнту довіри, залежному від заданого рівня надійності оцінки.
З формули середньої помилки вибірки і співвідношення граничної та середньої помилок отримуємо:
З урахуванням довірчої ймовірності ця формула набуде вигляду:
Коефіцієнт довіри t визначається по таблиці значень інтегральної функції Лапласа при заданій довірчій ймовірності. Найбільш часто вживані рівні довірчої ймовірності і відповідні їм значення t:
Беручи до уваги, що відбір був випадковим і бесповторного, визначте з ймовірністю 0,954 по факультету в цілому:
1) межі, в яких знаходиться середній бал успішності в цілому по факультету;
2) межі, в яких знаходиться частка студентів, які здали іспити на «добре» і «відмінно».
1) Середнє значення ознаки у генеральній сукупності знаходиться в інтервалі: Х * - # 948; ≤ ≤ Х * + # 948 ;.
За формулою середньої арифметичної зваженої знайдемо середній бал успішності. = 3,75 бала.
Граничну похибку вибірки визначимо за формулою для бесповторного відбору:
або # 948; = T * = 2 * = 0,122.
Відповідно, середній бал успішності в цілому по факультету знаходиться в межах ± 0,122 бала:
3,75 - 0,122 ≤ ≤ 3,75 + 0,122.
З ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній бал успішності в цілому по факультету складає від 3,628 до 3, 872 бали.
2) довірчі інтервали або межі частки студентів, які здали іспити на «добре» і «відмінно», являють собою:
# 969; - # 948; ≤ р ≤ # 969; + # 948 ;.
За підсумками вибірки визначаємо частку студентів, які здали іспити на «добре» і «відмінно»:
# 969; = 90 + 40 = 0,65 або 65%.
Середня помилка частки:
Гранична помилка частки:
t * # 956; = 2 * 0,033 ≈ 0,066 або 6,6%.
Таким чином, частка студентів, які здали іспити на «добре» і «відмінно», в генеральній сукупності знаходиться в межах # 969; ± 6,6%:
65% - 6,6% ≤ р ≤ 65% + 6,6%.
З ймовірністю 0,954 можна гарантувати, що частка студентів, які здали іспити на «добре» і «відмінно», становить від 58,4 до 71,6% загального числа студентів факультету.