Робота з матрицями в mathcad

Практична робота № 3

У завданнях лінійної алгебри практично завжди виникає необхідність виконувати різні операції з матрицями.

Попередньо матрицю потрібно визначити і ввести в робочий документ MathCAD.

Для того щоб визначити матрицю, введіть з клавіатури ім'я матриці і знак присвоювання (+<:>). Потім відкрийте панель операцій з матрицями і натисніть кнопку «Створити матрицю або вектор» або виберіть в меню Вставка (Insert) команду Матрицю (Matix). У вікні діалогу введіть число рядків і стовпців і заповніть значеннями поле введення матриці.

Більшість обчислень з матрицями, як і інші обчислення в MathCAD, можна виконувати трьома способами - за допомогою панелей інструментів, вибором операції в меню або зверненням до відповідної функції.

За кнопками на панелі інструментів Матриці закріплені такі функції:

· Визначення розмірів матриці

· Xn - введення нижнього індексу

· X -1 - обчислення оберненої матриці

· | X | - обчислення визначника матриці:; обчислення довжини вектора

· Поелементні операції з матрицями: якщо. то

· M <> - визначення стовпця матриці: M - j-й стовпець матриці

· M T - транспонування матриці:

· - обчислення скалярного добутку векторів:

· - обчислення векторного добутку двох векторів:

· - обчислення суми компонент вектора:;

· - визначення діапазону зміни змінної

· Візуалізація цифрової інформації, збереженої в матриці.

Для того, щоб виконати будь-яку операцію за допомогою панелі інструментів, потрібно виділити матрицю і клацнути в панелі по кнопці операції або клацнути по кнопці в панелі і ввести в поміченої позиції ім'я матриці.

Функції, призначені для розв'язання задач лінійної алгебри, зібрані в розділі Вектори і матриці (Vector and Matrix); їх можна розділити на три групи: функції визначення матриць і операції з блоками матриць, функції обчислення різних числових характеристик матриць і функції, що реалізують чисельні алгоритми розв'язання задач лінійної алгебри.

Функції визначення матриць і операції з блоками матриць:

· Matrix (m, n, f) - створює і заповнює матрицю розмірності m x n, елемент якої, розташований в i-му рядку, j-му стовпці, дорівнює значенню f (i, j) функції f (x, y);

· Diag (v) - створює діагональну матрицю, елементи головної діагоналі зберігаються у векторі v;

· Identity (n) - створює одиничну матрицю порядку n;

· Augment (A, B) - формує матрицю, в перших шпальтах якої міститься матриця A, а в останніх - матриця B (матриці A і B повинні мати однакове число рядків);

· Stack (A, B) - формує матрицю, в перших рядках якої міститься матриця A, а в останніх - матриця B (матриці A і B повинні мати однакове число стовпців);

· Submatrix (A, ir, jr, ic, jc) - формує матрицю, яка є блоком матриці A, розташованим в рядках з ir по jr і в стовпчиках з ic по jc (ir<=jr, ic<=jc).

Номер першого рядка (стовпчика) матриці або першої компоненти вектора зберігається в MathCAD в змінний ORIGIN. За замовчуванням в MathCAD координати векторів, стовпці і рядки матриці нумеруються, починаючи з 0 (ORIGIN: = 0). Оскільки в математичній записи найчастіше використовується нумерація з 1, перед початком роботи з матрицями будемо визначати значення змінної ORIGIN рівним 1, тобто будемо, перш за все, виконувати команду ORIGIN: = 1.

Функції обчислення різних числових характеристик матриць:

· Last (v) - обчислення номера останньої компоненти вектора V;

· Length (v) - обчислення кількості компонент вектора V;

· Rows (A) - обчислення числа рядків в матриці A;

· Cols (A) - обчислення числа стовпців в матриці A;

· Max (A) - обчислення найбільшого елемента в матриці A;

· Min (A) - обчислення найменшого елемента в матриці A;

· Tr (A) - обчислення сліду квадратної матриці A (слід матриці дорівнює сумі її діагональних елементів);

· Rank (A) - обчислення рангу матриці A;

· Norm1 (A), norm2 (a), norme (A), normi (A) - обчислення норм квадратної матриці A.

Функції, що реалізують чисельні алгоритми розв'язання задач лінійної алгебри:

· Rref (A) - приведення матриці до ступінчастого вигляду з одиничним базисним мінор (виконуються елементарні операції зі стоками матриці);

· Eigenvals (A) - обчислення власних значень квадратної матриці A;

· Eigenvecs (A) - обчислення власних векторів квадратної матриці A; значенням функції є матриця, стовпці якої є власні вектори матриці A, причому порядок проходження векторів відповідає порядку проходження власних значень, обчислених функцією eigenvals (A);

· Eigenvec (A, l) - обчислення власного вектора матриці A, що відповідає власному значенню l;

· Lsolve (A, b) - рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь Ax = b.

Обчислення з використанням описаних функцій виконуються стандартним для MathCAD способом. Щоб звернутися до функції, введіть з клавіатури ім'я функції, перерахуйте в дужках її аргументи, введіть знак рівності і клацніть по вільному місцю в робочому документі поза виділяє рамки. Результат обчислень (число, вектор, матриця) буде відображений в робочому документі праворуч від знака рівності.

Якщо передбачається використовувати результати в подальших обчисленнях, їм слід привласнити ім'я. Для цього введіть з клавіатури ім'я змінної і знак присвоювання, а праворуч від нього - ім'я функції зі списком аргументів в круглих дужках. Якщо тепер ввести з клавіатури ім'я змінної, знак рівності та клацнути по вільному місцю в робочому документі поза виділяє рамки, то результат обчислень буде відображено праворуч від знака рівності.

Ім'я функції можна вставити зі списку: клацніть по потрібного розташування, потім по рядку Функція (Function) меню Вставка (Insert). виберіть у вікні списку стрілками прокрутки потрібну функцію і підтвердіть вибір клацанням по кнопці OK у вікні діалогу.

Обчислення можуть проводитися в двох режимах - автоматичному і послідовному. У першому випадку операція виконується відразу після введення команди і клацання по робочому документу поза виділяє рамки, в другому - після команди Обчислити (Calculate). Режим обчислень встановлюється в меню Математика (Math). За замовчуванням включений режим автоматичних обчислень.

MathCAD Новомосковскет і виконує введені вирази зліва направо і зверху вниз, тому стежте, щоб вираз для обчислення розташовувалося правіше і нижче визначених для нього значень змінних.