Рівняння площини у відрізках

У цій статті розглянемо особливий вид рівняння площині - рівняння площини в відрізках. Спочатку дамо вид рівняння площини в відрізках, наведемо приклад і необхідні пояснення. Далі зупинимося на застосуванні рівняння площини в відрізках для побудови площини в прямокутній системі координат в просторі. У висновку покажемо, як від загального рівняння площини перейти до рівняння площини в відрізках, і докладно розберемо рішення прикладу.

Навігація по сторінці.

Рівняння площини у відрізках - опис і приклади.

Нехай в тривимірному просторі задана прямокутна система координат Oxyz.

У прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі рівняння виду, де a. b і c - відмінні від нуля дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках. Таку назву не випадково. Абсолютні величини чисел a. b і c рівні довжинах відрізків, які площину відсікає на координатних осях Ox. Oy і Oz відповідно, рахуючи від початку координат. Знак чисел a. b і c показує, в якому напрямку (позитивному або негативному) відкладаються відрізки на координатних осях. Дійсно, координати точок задовольняють рівняння площини в відрізках:

Подивіться на малюнок, що пояснює цей момент.

У прямокутній системі координат Oxyz площину проходить через точки на координатних осях і. Напишіть рівняння цієї площини в відрізках.

Задана площина відтинає відрізок довжиною 2 одиниці в негативному напрямку осі абсцис, довжиною - в позитивному напрямку осі ординат, довжиною в негативному напрямку осі аплікат, рахуючи від початку координат. Таким чином, рівняння цієї площини в відрізках має вигляд.

З наведеної інформації видно, що рівняння площини в відрізках дуже зручно використовувати при зображенні площині на кресленні. Покажемо це на прикладі.

Побудуйте площину, визначену в прямокутній системі координат Oxy рівнянням площини у відрізках.

Спочатку зображуємо координатні осі, позначаємо початок координат, задаємо поодинокі відрізки на кожній осі. Відзначаємо точку, віддалену на 5 одиниць від початку координат в негативному напрямку осі абсцис, на 4 одиниці в негативному напрямку осі ординат і на 4 одиниці в позитивному напрямку осі аплікат. Залишилося з'єднати ці точки прямими лініями. Площина отриманого трикутника і є площина, відповідна заданому рівнянню площини в відрізках.

Якщо ж стоїть завдання зобразити на кресленні площину, задану рівнянням іншого виду, то доцільно спочатку отримати рівняння цієї площини в відрізках (про це ми поговоримо в наступному пункті), відзначити точки і провести через них площину (побудувати трикутник, вважаючи ці три точки його вершинами ).

Приведення загального рівняння площини до рівняння площини в відрізках.

Нехай нам відомо загальне рівняння площини в просторі і нам потрібно отримати рівняння цієї площини в відрізках.

Це завдання ми можемо вирішити тільки тоді, коли площина перетинає кожну з координатних осей, причому НЕ на початку координат. Ми не зможемо отримати рівняння площини в відрізках, якщо площина збігається з однією з координатних площин, паралельна одній з координатних площин, проходить через одну з координатних осей або паралельна одній з координатних осей. Іншими словами, до рівняння у відрізках ми можемо привести лише повне рівняння площині, тобто, рівняння при.

Опишемо процес приведення повної загальної рівняння площини до рівняння площини в відрізках.

• Доданок D переносимо в праву частину рівняння з протилежним знаком.
• Так як, то обидві частини отриманого рівняння можна розділити на -D. .
• Залишилося виконати останній крок. Так як, то коефіцієнти перед змінними x. y і z можна відправити в знаменники, тобто, останнє рівняння еквівалентно рівності. При цьому ми використовували очевидне рівність.

Отримане рівняння і є рівняння площини в відрізках. Це добре видно, якщо позначити.

Покажемо рішення прикладу.

У прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі лоскость задана рівнянням. Отримайте рівняння цієї площини в відрізках.

Початкове рівняння є загальним повним рівнянням площини, тому його можна привести до рівняння площини в відрізках. Перенесемо -6 в праву частину. Розділимо обидві частини отриманого рівності на шість:. Відправляємо коефіцієнти при змінних x. y і z в знаменники:. Так ми набули необхідного рівняння площини в відрізках.