Рівняння дотичної і нормалі

Рівняння дотичної в декартових координатах

Припустимо, що функція \ (y = f \ left (x \ right) \) визначена на інтервалі \ (\ left (\ right) \) і неперервна в точці \ (\ in \ left (\ right). \) У цій точці (точка \ (M \) на малюнку \ (1 \)) функція має значення \ (= f \ left (> \ right). \)

Нехай незалежна змінна в точці \ (\) бере зріст \ (\ Delta x. \) Відповідне приріст функції \ (\ Delta y \) виражається формулою \ [\ Delta y = f \ left (+ \ Delta x> \ right) - f \ left (> \ right). \] На малюнку \ (1 \) точка \ (\) має координати \ (\ left (+ \ Delta x, + \ Delta y> \ right). \) Побудуємо січну \ ( M. \) Її рівняння має вигляд \ [y - = k \ left (> \ right), \] де \ (k \) - кутовий коефіцієнт, що залежить від збільшення \ (\ Delta x \) і рівний \ [k = k \ left (\ right) = \ frac >>. \] При зменшенні \ (\ Delta x \) точка \ (\) прагне до точки \ (M: \) \ (\ to M. \) У межі \ ( \ Delta x \ to 0 \) відстань між точками \ (M \) і \ (\) прагне до нуля. Це випливає з безперервності функції \ (f \ left (x \ right) \) в точці \ (: \) \ [\ Delta y = 0,> \; \; \ Left |> \ right |> = \ sqrt \ right)> ^ 2> + \ right)> ^ 2 >> = 0.> \] Граничне положення січної \ (M \) як раз і являє собою дотичну пряму до графіку функції \ (y = f \ left (x \ right) \) в точці \ (M. \)

Можливі два види дотичних - похилі і вертикальні.

Визначення \ (1 \).
Якщо існує кінцевий межа \ (\ lim \ limits_ k \ left (\ right) =, \) то пряма, має рівняння \ [y - = k \ left (> \ right), \] називається похилою дотичної до графіка функції \ ( y = f \ left (x \ right) \) в точці \ (\ left (,> \ right). \)

Визначення 2.
Якщо граничне значення \ (k \) при \ (\ Delta x \ to 0 \) є нескінченним: \ (\ lim \ limits_ k \ left (\ right) = \ pm \ infty, \) то пряма, має рівняння \ [ x =, \] називається вертикальною дотичної до графіка функції \ (y = f \ left (x \ right) \) в точці \ (\ left (,> \ right). \)

Важливо відзначити, що \ [= \ lim \ limits_ k \ left (\ right)> = \ frac >>> => \ right),> \] тобто кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної функції \ (f \ left (> \ right) \) в точці дотику \ (. \) Тому рівняння похилій дотичній можна записати в такому вигляді: \ [= f '\ left (> \ right) \ left (> \ right) \; \; \ text> \ ; \;> \ right) \ left (> \ right) + f \ left (> \ right).> \] Оскільки кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу \ (\ alpha, \) який пряма утворює з позитивним напрямом осі абсцис , то справедливо наступне потрійне рівність: \ [k = \ tan \ alpha = f '\ left (> \ right). \]

Рівняння нормалі в декартових координатах

Пряма, перпендикулярна дотичній і проходить через точку дотику \ (\ left (,> \ right), \) називається нормаллю до графіка функції \ (y = f \ left (x \ right) \) в цій точці (рисунок \ (2 \ )).

З геометрії відомо, що твір кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих одно \ (- 1. \) Тому, знаючи рівняння дотичної в точці \ (\ left (,> \ right): \) \ [y - = f '\ left (> \ right) \ left (> \ right), \] можна відразу записати рівняння нормалі у вигляді \ [y - = - \ frac> \ right) >> \ left (> \ right). \]

Рівняння дотичної і нормалі в параметричної формі

Рівняння дотичної і нормалі в полярних координатах

Припустимо, що крива задана полярним рівнянням \ (r = f \ left (\ theta \ right), \) виражає залежність довжини радіуса-вектора \ (r \) від полярного кута \ (\ theta. \) У декартових координатах така крива буде описуватися системою рівнянь \ [\ left \<\begin x = r\cos \theta = f\left( \theta \right)\cos \theta \\ y = r\sin \theta = f\left( \theta \right)\sin\theta \end \right..\] Таким образом, мы записали уравнение кривой в параметрической форме, где роль параметра играет угол \(\theta.\) Далее легко получить выражение для углового коэффициента касательной, проведенной к кривой в точке \(\left( ,> \ Right): \) \ [>>>>> = \ right)> ^ \ prime >>> \ right)> ^ \ prime >>>> = \ sin \ theta + r \ cos \ theta >> \ cos \ theta - r \ sin \ theta >>.> \] в результаті рівняння дотичній і нормалі будуть записуватися в наступному вигляді: \ [= \ frac >>>> \ left (> \ right)> \; \; \; ),> \] \ [= - \ frac >>>> \ left (> \ right)> \; \; \; ).> \] Дослідження кривої можна провести безпосередньо в полярних координатах без переходу до декартовій системі. В такому випадку нахил дотичної зручно визначатимуть не кутом \ (\ theta \) з полярною віссю (тобто з позитивним напрямком осі абсцис), а кутом \ (\ beta \) з прямою, що містить радіус-вектор \ (r \) (рисунок \ (3 \)).

Парабола задана рівнянням \ (y = + 2x + 3. \) Скласти рівняння дотичних до параболи, що проходять через точку \ (A \ left ( <- 1,1> \ Right). \)

Перетворимо рівняння параболи до виду \ [+ 2x + 3> = + 2x + 1 + 2> = \ right) ^ 2> + 2.> \] Видно, що графік даної параболи виходить з графіка функції \ (y = \) в внаслідок паралельного перенесення на \ (1 \) одиницю вліво і на \ (2 \) одиниці вгору (рисунок \ (7 \)).

Знайдемо рівняння двох дотичних до параболи, що проходять через точку \ (A \ left ( <- 1,1> \ Right). \) Кожна з цих дотичних визначається рівнянням \ [= k \ left (> \ right),> \; \; \ Right)> \ right),> \; \; \; \; \] Де \ (k \) - кутовий коефіцієнт (\ (\) - для першої дотичній і \ (\) - для другої).

Таким чином, завдання зводиться до визначення кутових коефіцієнтів дотичних \ (\) і \ (. \) Врахуємо, що в точках торкання \ (B \) і \ (C \) виконується умова \ [y = kx + k + 1 \\ y = + 2x + 3 \ end \ right.,> \; \; + 2x + 3.> \] Крім того, в точках торкання \ (B \) і \ (C \) кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної функції \ (y = + 2x + 3. \) Оскільки \ [+ 2x + 3> \ right) ^ \ prime >> = \] то, отже, отримуємо ще одне рівняння у вигляді \ [k = 2x + 2. \] в результаті ми маємо систему двох рівнянь \ [\ left \<\begin kx + k + 1 = + 2x + 3\\ k = 2x + 2 \end \right.\] с двумя неизвестными \(k\) и \(x.\) Решая эту систему, находим значения \(k\) и \(x\) (т.е. угловые коэффициенты касательных \(,\) \(\) и абсциссы точек касания \(B\) и \(C\)): \[ kx + k + 1 = + 2x + 3\\ k = 2x + 2 \end \right.,>\; \; \ Right) x + 2x + 2 + 1 = + 2x + 3,> \; \; + 2x + 2x + 3 = + 2x + 3,> \; \; + 2x = 0,> \; \; = - 2, \; = 0.> \] Перше рішення \ (= - 2 \) відповідає точці \ (B. \) Друге рішення \ (= 0 \) є координатою точки дотику \ (C. \) Кутові коефіцієнти мають наступні значення:

Тоді рівняння дотичних до даної параболі записуються у вигляді

дотична \ (AB: \; \) \ (y = -2x - 1; \)

дотична \ (AC: \; \) \ (y = 2x + 3. \)

До графіка функції \ (y = \ cos x \) проведена дотична в точці \ (M \ left (,> \ right), \) де \ (0 0, \] то похідна має лише одну критичну точку, яка визначається умовою \ [z = 0,> \; \; \ right) = 0,> \; \; \] Таке рівняння вирішується чисельно. Однак можна помітити, що якщо \ (z = \ large \ frac \ normalsize, \) то ліва частина рівняння негативна: \ [:> \; \; - \ cot \ frac> = - 1 \ approx - 0,21 0.> \] Отже, точка екстремуму функції \ (S \ left (z \ right) \) знаходиться в інтервалі кутів \ (\ left (\ normalsize, \ large \ frac \ normalsize> \ right) \) (рисунок \ (12 \)), причому це точка є точкою мінімуму (судячи з характеру зміни знака похідної).

Наближену координату точки мінімуму можна обчислити, наприклад, в Excel. Вона становить приблизно \ (0.86 \; \ text \) або \ (49,3 ^. \)