Рівняння безлічі точок на площині онлайн

Рівняння зі змінними x і y відповідає на площині деяка лінія як безліч точок, координати яких задовольняють цьому рівнянню. Зворотно: лінія на площині, яка представляє безліч точок, відповідає деякий рівняння зі змінними x і y.

Інструкція. Щоб скласти за умовами задачі рівняння безлічі точок на площині, потрібно встановити залежність між змінними величинами x і y (координатами довільної точки, що належить цій множині точок) і даними в задачі постійними величинами (параметрами) і записати цю залежність рівнянням.

Приклад №1. Скласти рівняння безлічі точок на площині, рівновіддалених від точок A (1; 2) і B (-2; 0).
Рішення
Нехай точка М належить шуканого безлічі точок, тоді МА = МВ. Так як


то

Після зведення лівої і правої частин в квадрат і спрощень отримаємо:
(X - 1) 2 + (y - 2) 2 = (x + 2) 2 + y 2
x 2 - 2x + 1 + y 2 - 4y + 4 = x 2 + 4x + 4 + y 2
або
- 6x - 4y + 1 = 0
Відповідь: - 6x - 4y + 1 = 0.

Приклад №2.
Скласти рівняння безлічі точок на площині, ставлення відстаней яких від точки A (1; -2) і від прямої x = 1 дорівнює 1/2.
Рішення
З умови випливає, що для будь-якої точки M (x; y) шуканого безлічі справедливо співвідношення MA: MB = 1/2. Так як:


то

або

Звівши ліву і праву частини в квадрат і спрощуючи, отримаємо:
4 (x - 1) 2 + 4 (y + 2) 2 = | x - 1 | 2
тобто
4 (x 2 - 2x + 1) + 4 (y 2 + 4y + 4) = x 2 - 2x + 1
або
3x 2 + 4y 2 - 6x + 16y +19 = 0
Відповідь: 3x 2 + 4y 2 - 6x + 16y +19 = 0.

Приклад №3. Скласти рівняння ліній, якщо відстань кожної її точки А (2,0) відноситься до відстані до прямої 5x + 8 = 0 як 5: 4.
Рішення. Висловлюємо x = -8/5. # 955; = 5/4. Підставляємо дані в завдання №2.