Рішення квадратних нерівностей методом інтервалів

Метод інтервалів є універсальним методом вирішення нерівностей, зокрема, він дозволяє вирішувати квадратні нерівності з однією змінною. У цій статті ми детально висвітлимо всі нюанси рішення квадратних нерівностей методом інтервалів. Спочатку наведемо алгоритм, після чого детально розберемо готові рішення характерних прикладів.

Навігація по сторінці.

Перше знайомство з методом інтервалів зазвичай відбувається на уроках алгебри, коли вчаться вирішувати квадратні нерівності. При цьому алгоритм методу інтервалів дають у вигляді, адаптованому саме до вирішення квадратних нерівностей. Віддаючи данину простоті, ми теж дамо його в такому вигляді, а загальний алгоритм методу інтервалів Ви можете переглянути за посиланням на самому початку цієї статті.

Отже, алгоритм вирішення квадратних нерівностей методом інтервалів такий:

• Знаходимо нулі квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c з лівої частини квадратного нерівності.
• Изображаем координатну пряму і при наявності коренів відзначаємо їх на ній. Причому якщо вирішуємо суворе нерівність, то відзначаємо їх порожніми (виколотими) точками, а якщо вирішуємо Нечитка нерівність - то звичайні точки. Вони розбивають координатну вісь на проміжки.
• Визначаємо, які знаки мають значення тричлена на кожному проміжку (якщо на першому кроці були знайдені нулі) або на всій числовій прямій (якщо нулів немає), як це зробити розповімо трохи нижче. І проставляем над цими проміжками + або - відповідно до визначених знаками.
• Якщо вирішуємо квадратне нерівність зі знаком> або ≥, то наносимо штрихування над проміжками зі знаками +, якщо ж вирішуємо нерівність зі знаком <или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества. которое и является искомым решением неравенства.
• Записуємо відповідь.

Як і обіцяли, роз'яснюємо третій крок озвученого алгоритму. Існує кілька основних підходів, що дозволяють знаходити знаки на проміжках. Будемо їх вивчати на прикладах, і почнемо з надійного, але не найшвидшого способу, що полягає в обчисленні значень трехчлена в окремо взятих точках проміжків.

Візьмемо тричлен x 2 + 4 · x-5. його корінням є числа -5 і 1. вони розбивають числову вісь на три проміжку (-∞, -5). (-5, 1) і (1, + ∞).

Визначимо знак трехчлена x 2 + 4 · x-5 на проміжку (1, + ∞). Для цього обчислимо значення даного тричлена при деякому значенні x з цього проміжку. Доцільно брати таке значення змінної, щоб обчислення були простими. У нашому випадку, наприклад, можна взяти x = 2 (з цим числом обчислення проводити простіше, ніж, наприклад, з 1,3. 74 або). Підставляємо його в тричлен замість змінної x. в результаті отримуємо 2 + 2 + 4 · 2-5 = 7. 7 - позитивне число, це означає, що будь-яке значення квадратного тричлена на інтервалі (1, + ∞) буде позитивним. Так ми визначили знак +.

Для закріплення навичок визначимо знаки на останніх двох проміжках. Почнемо зі знака на інтервалі (-5, 1). З цього інтервалу найкраще взяти x = 0 і обчислити значення квадратного тричлена при цьому значенні змінної, маємо 0 2 + 4 · 0-5 = -5. Так як -5 - негативне число, то на цьому інтервалі все значення тричлена будуть негативними, отже, ми визначили знак мінус.

Залишилося з'ясувати знак на проміжку (-∞, -5). Візьмемо x = -6. підставляємо його замість x. отримуємо (-6) 2 + 4 · (-6) -5 = 7. отже, потрібним знаком буде плюс.

Але швидше розставити знаки дозволяють наступні факти:

• Коли квадратний тричлен має два кореня (при позитивному дискримінант), то знаки його значень на проміжках, на які ці коріння розбивають числову вісь, чергуються (як в попередньому прикладі). Тобто, достатньо визначити знак на одному з трьох проміжків, і розставити знаки над рештою проміжками, чергуючи їх. В результаті можлива одна з двох послідовностей знаків: +, -, + або -, +, -. Більш того, можна взагалі обійтися без обчислення значення квадратного тричлена в точці проміжку, а зробити висновки про знаках за значенням старшого коефіцієнта a: якщо a> 0, то маємо послідовність знаків +, -, +, а якщо a<0 – то −, +, −.
• Якщо ж квадратний тричлен має один корінь (коли дискримінант дорівнює нулю), то цей корінь розбиває числову вісь на два проміжки, а знаки над ними будуть однаковими. Тобто, достатньо визначити знак над одним з них, а над іншим - поставити такий же. При цьому вийде, або +, +, або -, -. Висновок по знакам можна також зробити на основі значення коефіцієнта a: якщо a> 0. то буде +, +, а якщо a<0. то −, −.
• Коли квадратний тричлен коренів не має, то знаки його значень на всій числовій прямій збігаються як зі знаком старшого коефіцієнта a. так і зі знаком вільного члена c. Для прикладу розглянемо квадратний тричлен -4 · x 2 -7. він не має коренів (його дискримінант від'ємний), і на проміжку (-∞, + ∞) його значення негативні, так як коефіцієнт при x 2 є негативне число -4. і вільний член -7 теж негативний.

Тепер всі кроки алгоритму розібрані і залишається розглянути приклади рішення квадратних нерівностей з його використанням.

Приклади з рішеннями

Переходимо до практики. Вирішимо кілька квадратних нерівностей методом інтервалів, торкнемося основні характерні випадки.