Рішення ірраціональних рівнянь

Актуалізація знань. Екскурс в історію.

Перетворення ірраціональних виразів

Порівняння значень ірраціональних виразів.

Виняток ірраціональності в знаменнику (чисельнику) дробового виразу.

Перетворення складного кореня

Доказ виразів, в запис яких входять радикали.

Деякі прийоми спрощення ірраціональних виразів.

Складання опорного конспекту.

Групова форма роботи
Навчальна самостійна робота.

Робота в парах. Самостійна робота (перевірочна).

Робота в парах
Групова форма роботи.

Пропонується провести невеликий тест на поняття ірраціонального числа

Число А є ірраціональним, есліА =;

При перетворенні ірраціональних виразів попередньо слід з'ясувати. чи існує цей вислів, тобто чи всі величини під корінням парному ступеня невід'ємні. Тому виникає необхідність порівнювати значення ірраціональних виразів. Ця необхідність виникає і при вирішенні багатьох інших завдань.

Ознака порівняння двох позитивних ірраціональних виразів.

Нехай А> 0 і B> 0;

Тоді з нерівності А ² ≥ B² слід, що А ≥ B, і навпаки.

Дійсно, А ² -В² = (А-В) (А + В);

Т.к .А + В> 0, то з нерівності А ² - В² ≥ 0 слід, що А - В ≥ 0, т. е. А ≥ В.

Навпаки, з А - В ≥ 0, слід, що А ² - В² ≥ 0, тобто з А ≥ В слід, що

Яке з чисел більше

√ 5 + √ 7 або √ 3 + √ 8.

Знайдемо квадрати цих чисел

(√ 5 + √ 7) ² = 12 + 2√ 35

Так як 12 + 2√ 35> 11 + 2√ 24, то (√ 5 + √ 7)> (√ 3 + √ 8).

Якщо обидва ірраціональних вираження негативні, то для їх порівняння за вказаною ознакою можна спочатку порівняти їх абсолютні величини.

Порівняйте за величиною числа

Зведено в ступінь порівняння

() ² = 2 + √ 3 + 2 + 2 - √ 3 = 4 + 2 = 4 + 2 = 6

Отримали рівність 6 = 6, тому числа рівні.

Відповідь: числа рівні.

Нехай а = і b = 2

Ірраціональне вираження алгебри

Додатковий множник для ірраціонального виразу

4. Доказ виразів, в запіськоторих входять радикали

При виконанні вправ на доказ виразів, в запис яких входять радикали може бути використана теорема Вієта (пряма і зворотна). Наведемо формулювання теореми, зворотної теоремі Вієта.

Якщо числа m і n задовольняють системі рівнянь, то вони є коренями рівняння х 2 + pх + q = 0.

Позначимо складові в лівій частині через m і n.

Якщо доказувана рівність справедливо, то m і n по теоремі, зворотної теремі Вієта такі, що m + n = 4 m n = 2, тобто m і n повинні бути корінням квадратного рівняння, тобто

Тепер обов'язково потрібно переконатися в тому, що обидва ці рівності вірні. Для цього зведемо в куб праві частини рівності

Таким чином, справедливість рівності доведена.

Потім почленно складемо їх і отримаємо потрібну твердження.

№2. перевірити рівність

По теоремі зворотної теоремі Вієта m і n є корінням рівняння

Перевіримо рівності (1) і (2), для чого зведемо в куб праві частини цих рівностей:

Таким чином справедливість рівності доведена.

Склавши почленно (1) і (2) отримуємо

Отже, отримали потрібне твердження.

5. Деякі прийоми упрощеніяірраціональних виразів.

1. 
   Спосіб підстановки.
   

Даний метод значно полегшує техніку перетворень.