річна рента

Якщо переписати цей ряд у зворотному порядку, то він буде являти собою геометричну прогресію, сума членів якої дорівнює

Множник, на який множиться R позначається як sn, i. причому індекс вказує на тривалість ренти - n і величину відсоткової ставки - i. Цей множник називається коефіцієнтом нарощення ренти і являє собою нарощену суму ренти, член якої дорівнює 1.

Формула (67) може застосовуватися і для розрахунку нарощеної суми ренти постнумерандо з періодом, відмінним від року. У цьому випадку замість n підставляється число періодів, а замість i - ставка за період.

2. Нарахування відсотків m раз на рік.

Тут члени ренти з нарахованими до кінця терміну відсотками утворюють ряд (відразу перепишемо його в зворотному порядку)

де j - номінальна ставка відсотка.

Сума членів цієї геометричної прогресії дорівнює

Наприкінці кожного року клієнт може вкласти в банк 1 млн. Руб. Яка сума буде на рахунку через 3 роки? i = 4%

p - ТЕРМІНОВА РЕНТА

1. Нарахування відсотків один раз на рік (m = 1).

Нехай рента виплачується p раз на рік рівними сумами, відсоток ж нараховується один раз на рік. Якщо річна сума платежів дорівнює R. то кожен раз виплачується R / p. Загальна кількість членів ренти одно n · p. Ряд членів цієї ренти з нарахованими відсотками являє геометричну прогресію з першим членом R / p і знаменником - (1 + i) 1 / p. Сума членів цієї прогресії

2. Нарахування відсотків (число раз) збігається з числом виплат на рік.

На практиці такі випадки зустрічаються досить часто. Тут p = m. і підставляючи в формулу (67) замість i - j / m. а замість числа років - число періодів виплат ренти n · p = n · m. і враховуючи, що член ренти дорівнює R / p = R / m отримаємо:

Тут ми маємо p виплат на рік, на які відсотки нараховуються m раз (pm). Загальна кількість членів ренти одно n · p. величина члена ренти - R / p. Члени ренти з нарахованими на них відсотками утворюють геометричну прогресію з першим членом R / p і знаменником (1 + j / m) m / p. Сума членів такої прогресії (або, в нашому випадку, нарощена сума)

Клієнт протягом 5 років в кінці кожного кварталу перераховує в банк по 200 руб. Яка сума буде на рахунку в кінці терміну, якщо відсотки нараховуються: а) щоквартально; б) по півріччях. Процентна ставка - 6%.

При нарахуванні відсотків по півріччях отримаємо:

Отже, при зміні хоча б одного з додаткових умов фінансової ренти змінюється розмір нарощеної суми.

Майбутню вартість звичайної ренти з різними умовами платежу позначимо S (p, m). тобто наприклад, річна рента з нарахуванням відсотків в кінці року буде записана S (1,1). а річна рента з нарахуванням відсотків m раз на рік буде позначена S (1, m) і т.д.

Порівняємо майбутні вартості звичайних рент для одних і тих же розмірів виплат і терміну ренти, але з різними умовами платежу.

Нехай n = 5, R = 1, i = 0,08 (складна процентна ставка):

а) для випадку p = 1, m = 1:

б) есліp = 1, m = 2, то величина нарощеної суми буде дорівнює

в) при p = 2, m = 1, тобто піврічна рента з нарахуванням відсотків в кінці року призведе до наступної величиною нарощеної суми:

г) за однакової кількості p і m, тобто наприклад, при p = 2, m = 2:

д) якщо p = 2, m = 4, тобто при піврічної ренті з щоквартальним нарахуванням відсотків, отримаємо наступну нарощену суму:

е) для p = 4, m = 2:

За допомогою наведених нерівностей можна заздалегідь порівняти кінцеві результати нарощення потоків платежів, не вдаючись до точних обчислень. Покажемо це на наступному прикладі: орендодавець пропонує орендареві щомісяця (в кінці місяця) переводити орендну плату в банк, де відсотки нараховуватимуться щоквартально (в кінці кварталу).

Орендар же пропонує скористатися послугами іншого банку, де відсотки нараховуються щомісяця, але при цьому пропонує вносити орендну плату щоквартально (в кінці кожного кварталу).

Який варіант платежів більш вигідний орендодавцю, якщо протягом року гроші будуть залишатися на рахунку?

Скористаємося наведеними нерівністю для зіставлення нарощених сум.

У першому варіанті p = 12, m = 4, тобто p> m> 1.

У другому варіанті p = 4, m = 12, тобто m> p> 1.

Відповідно до наведеного вище нерівності нарощена сума за варіантом, запропонованим орендарем, буде менше, S2

Наведемо розрахунок нарощеної суми за рік (n = 1), взявши до уваги, що річна орендна плата в тому і іншому випадках дорівнює R.

Тоді, скориставшись формулою (73), отримаємо:

У другому варіанті нарощена сума буде дорівнює:

Таким чином, S2

Точний розрахунок дозволяє не тільки відповісти на питання, який варіант кращий для орендодавця, а й яка сума додаткової вигоди. В даному прикладі різниця S1 і S2 складе 0,01568R або 1,568% річної орендної плати.

Наведені вище співвідношення нарощених сум при різних поєднаннях умов платежу і нарахування відсотків справедливі, коли процентна ставка не перевищує 50%.

У табл. 8 представлені значення нарощеної суми для різних значень процентних ставок за таких умов: а) рента річна (p = 1), відсотки нараховуються по півріччях (m = 2), виплати проводяться протягом п'яти років (n = 5) і R = 1; б) рента піврічна (p = 2), відсотки нараховуються 1 раз в рік (m = 1).

Розрахунок нарощеної суми при різних сочетаніяхmіp.

Величина процентної ставки i,%