Релятивістська динаміка

Теми кодификатора ЄДІ: повна енергія, зв'язок маси і енергії, енергія спокою.

У класичній динаміці ми почали з законів Ньютона, потім перейшли до імпульсу, а після нього - до енергії. Тут ми заради простоти викладу зробимо рівно навпаки: почнемо з енергії, потім перейдемо до імпульсу і закінчимо релятивістським рівнянням руху - модифікацією другого закону Ньютона для теорії відносності.

Припустимо, що ізольоване тіло маси покоїться в цій системі відліку. Одне з найбільш вражаючих досягнень теорії відносності - це знаменита формула Ейнштейна:

Тут - енергія тіла, - швидкість світла у вакуумі. Оскільки тіло покоїться, енергія, вичіляемая за формулою (1). називається енергією спокою.

Формула (1) стверджує, що кожне тіло саме по собі має енергію - просто тому, що воно існує в природі. Образно кажучи, природа затратила певні зусилля на те, щоб «зібрати» дане тіло з найдрібніших частинок речовини, і заходом цих зусиль служить енергія спокою тіла. Енергія ця дуже висока; так, в одному кілограмі речовини міститься енергія

Цікаво, скільки палива потрібно спалити, щоб виділилося стільки енергії? Візьмемо, наприклад, дерево. Його питома теплота згоряння дорівнює Дж / кг, тому знаходимо: кг. Це дев'ять мільйонів тонн!

Ще для порівняння: таку енергію єдина енергосістемаУкаіни виробляє приблизно за десять днів.

Чому настільки грандіозна енергія, що міститься в тілі, до сих пір залишалася нами непоміченою? Чому в нерелятівістскіх завданнях, пов'язаних зі збереженням і перетворенням енергії, ми не враховували енергію спокою? Скоро ми відповімо на це питання.

Оскільки енергія спокою тіла прямо пропорційна його масі, зміна енергії спокою на величину призводить до зміни маси тіла на

Так, при нагріванні тіла зростає його внутрішня енергія, і, отже, маса тіла збільшується! У повсякденному житті ми не помічаємо цього ефекту з огляду на його надзвичайної малості. Наприклад, для нагрівання води масою кг на (питома теплоємність води дорівнює) їй потрібно передати кількість теплоти:

Збільшення маси води дорівнюватиме:

Настільки незначне зміна маси неможливо помітити на тлі похибок вимірювальних приладів.

Формула (1) дає енергію покоїться тіла. Що зміниться, якщо тіло рухається?

Знову розглянемо нерухому систему відліку і систему. рухається щодо зі швидкістю. Нехай тіло маси покоїться в системі; тоді енергія тіла в системі є енергія спокою, що обчислюється за формулою (1). Виявляється, при переході в систему енергія перетворюється так само, як і час - а саме, енергія тіла в системі. в якій тіло рухається зі швидкістю. дорівнює:

Формула (2) була також встановлена ​​Ейнштейном. Величина - це повна енергія рухомого тіла. Оскільки в даній формулі ділиться на «релятивістський корінь», менший одиниці, повна енергія рухомого тіла перевищує енергію спокою. Повна енергія буде дорівнює енергії спокою тільки при.

Вираз для повної енергії (2) дозволяє зробити важливі висновки про можливі швидкостях руху об'єктів в природі.

1. Кожна масивне тіло володіє певною енергією, тому необхідним є дотримання нерівності

Воно означає, що. швидкість масивного тіла завжди менше швидкості світла.

2. У природі існують безмасові частки (наприклад, фотони), що несуть енергію. При підстановці в формулу (2) її чисельник звертається в нуль. Але енергія-то фотона ненульова!

Єдиний спосіб уникнути тут протиріччя - це прийняти, що безмасові частка має рухатися зі швидкістю світла. Тоді і знаменник нашої формули звернеться в нуль, так що формула (2) просто відмовить. Знаходження формул для енергії безмассових часток не входить в компетенцію теорії відносності. Так, вираз для енергії фотона встановлюється в квантовій фізиці.

Інтуїтивно відчувається, що повна енергія (2) складається з енергії спокою і власне «енергії руху», т. Е. Кінетичної енергії тіла. При малих швидкостях руху це показується явно. Використовуємо наближені формули, справедливі при:

За допомогою цих формул послідовно отримуємо з (2):

Таким чином, при малих швидкостях руху повна енергія зводиться просто до суми енергія спокою і кінетичної енергії. Це служить мотивуванням для визначення поняття кінетичної енергії в теорії відносності:

При формула (6) переходить в нерелятивістському вираз.

Тепер ми можемо відповісти на поставлене вище питання про те, чому досі не враховувалася енергія спокою в нерелятівістскіх енергетичних співвідношеннях. Як видно з (5), при малих швидкостях руху енергія спокою входить в повну енергію в якості доданка. У завданнях, наприклад, механіки та термодинаміки зміни енергії тел складають максимум кілька мільйонів джоулів; ці зміни настільки незначні в порівнянні з енергіями спокою розглядуваних тіл, що призводять до мікроскопічних змін їх мас. Тому з високою точністю можна вважати, що сумарна маса тіл не змінюється в ході механічних або теплових процесів. В результаті суми енергій спокою тел на початку і в кінці процесу просто скорочуються в обох частинах закону збереження енергії!

Але таке буває не завжди. В інших фізичних ситуаціях зміни енергії тел можуть призводити до більш помітних змін сумарної маси. Ми побачимо, наприклад, що в ядерних реакціях відмінності мас вихідних і кінцевих продуктів зазвичай складають частки процента.Скажем, при розпаді ядра урану сумарна маса продуктів розпаду приблизно на менше маси вихідного ядра. Ця одна тисячна частка маси ядра вивільняється у вигляді енергії, яка під час вибуху атомної бомби здатна знищити місто.

При неупругом зіткненні частина кінетичної енергії тіл переходить в їх внутрішню енергію. Релятивістський закон збереження повної енергії враховує цей факт: сумарна маса тіл після зіткнення збільшується!

Розглянемо як приклад два тіла маси. летять назустріч один одному з однаковою швидкістю. В результаті непружного зіткнення утворюється тіло маси. швидкість якого дорівнює нулю за законом збереження імпульсу (про цей закон мова попереду). Відповідно до закону збереження енергії отримуємо:

Ми бачимо, що, - маса що утворився тіла перевищує суму мас тел до зіткнення. Надлишок маси, рівний. виник за рахунок переходу кінетичної енергії стикаються тел у внутрішню енергію.

Класичне вираз для імпульсу не годиться в теорії відносності - воно, зокрема, не узгоджується з релятивістським законом додавання швидкостей. Давайте переконаємося в цьому на наступному простому прикладі.

Нехай система рухається щодо системи зі швидкістю (рис. 1). Два тіла маси в системі летять назустріч один одному з однаковою швидкістю. Відбувається неупругое зіткнення.

Мал. 1. До закону збереження імпульсу