регулярні функції

§ 12. Властивості РЕГУЛЯРНИХ ФУНКЦІЯ 93

З теореми 2 і п. 3 § 7 випливає

Слідство 5. Гармонійна в області функція беско-нечно дифференцируема.

3. Достатні умови регулярності. Теорема 1 стверджуючи-ет, що достатня умова регулярності функції / (z) в області D є дифференцируемость цієї функції. Рас-дивимося інші достатні умови.

Теорема 3 (теорема Морера). Нехай функція / (z) неперервна в однозв'язної області D і нехай інтеграл від функ-цііf (z) no будь-якому замкнутому контуру, який лежить в D, дорівнює нулю. Тоді функціяf (z) регулярна в області D.

Доведення. В силу слідства 3 § 9 функція f (z) має первісну, т. Е. Існує диференційована функція F (z) така, що F '(z) == f (z) для всіх ze D. Згідно тео-Рема 1 функція F (г) регулярна в області D, і, отже, її похідна-регулярна в D функція, т. е. функція / (z) == == F '(z) регулярна в області D.

Теорема 4 (перша теорема Вейерпгтрасса). Нехай функцііfn [z) (п = 1, 2.) регулярні в області D, і нехай ряд

рівномірно сходиться в кожній замкнутої області, що лежить в D. Тоді функція / (z) регулярна в D.

Доведення. Нехай Zo - довільна точка обла-сті D. Розглянемо коло К: lz-Zol <б, лежащий вместе со своей границей в области D. По условию, ряд (9) равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (п == = 1, 2. ) регулярны и, следовательно, непрерывны в К. По-этому функция /(z) непрерывна в К как сумма равномерно схо-дящегося ряда, составленного из непрерывных функций.

Нехай "f - будь-який замкнутий контур, що лежить в колі К. Інтегруючи почленно рівномірно сходиться на у ряд (9), отримуємо

f / (z) dz = I J / "(z) dz. "= I"

За інтегральною теоремою Коші / n (z) riz == 0 (га = 1, 2.) і,

Г v отже,) / (z) dz = 0. В силу теореми Морера, функція

/ (Z) регулярна в колі До і, зокрема, в точці Zy. Так як Zo-довільна точка області D, то функція / (z) регулярна в області D. Теорема доведена.

94 ГОЛ. II. РЕГУЛЯРНІ ФУНКЦІЇ

Теорема 5 (друга теорема Вейєрштрасса). В умовах попередньої теореми ряд (9) можна дифференци-ровать почленно будь-яке число раз. Отримувані при цьому ряди рівномірно сходяться в кожній замкнутої області Д, що лежить в областіD.

Ми обмежимося формулюванням другої теореми Вейер-штрассе (доказ її міститься, наприклад, в. [11]).

Інші достатні умови регулярності, які стосуються интегралам, що залежить від параметра, будуть дані в § 15.

На закінчення п. 3 наведемо коротке зведення основних властивостей регулярних функцій. Зауважимо, що поряд з терміном «регулярна функція» в літературі використовуються інші еквівалентні-валентні терміни:

Критерії (необхідні і достатні умови> регулярно-сті функції f (z) в області D:

1) дифференцируемость функції / (z) в області D;

2) умови Коші - Рімана.

Достатні умови регулярності функції / (z) в області D дають теорема Морера і перша теорема Вейерштрасса. Властивості регулярних функцій:

1) сума, різниця, добуток регулярних функцій / (z) і g '(z), а також їхня приватна (при g (z) ^ O) і суперпозиція яв-ляють регулярними функціями;

2) регулярна функція нескінченно диференційована;

3) для регулярної функції справедливі інтегральна тео-рема Коші і інтегральна формула Коші;

4) первісна регулярної в одпосвязной області функ-ції регулярна.

4. Деякі прийоми розкладання в статечної ряд. Будь-яка функція / (z), регулярна в колі | z-а |<р, разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте-пенной ряд