реферат еліпс

Вступ

• 1 Пов'язані визначення
• 2 Властивості
• 3 Співвідношення між елементами еліпса
• 4 Координатне уявлення
  • 4.1 Еліпс як крива другого порядку
  • 4.2 Канонічне рівняння
  • 4.3 Параметричний рівняння
  • 4.4 Рівняння в полярних координатах
• 5 Довжина дуги еліпса
  • 5.1 Наближені формули для периметра
• 6 Площа еліпса і його сегмента
• 7 Побудова еліпса
  • 7.1 За допомогою циркуля
  • 7.2 За допомогою циркуля і лінійки
  • 7.3 За допомогою двох голок і нитки
    • 7.3.1 Удосконалення способу
  література
  

Не слід плутати з Еліпс.

Еліпс, його фокуси і головні осі

Еліпс (грец. Ἔλλειψις - опущення, недолік, в сенсі нестачі ексцентриситету до 1) - геометричне місце точок M Евклідовій площині, для яких сума відстаней до двох даних точок F1 і F2 (званих фокусами) є сталою і більше відстані між фокусами, тобто

Окружність є окремим випадком еліпса. Поряд з гіперболою і параболою, еліпс є конічним перетином і квадрік. Еліпс також можна описати як перетин площині і кругового циліндра або як ортогональну проекцію кола на площину.

1. Пов'язані визначення

• Відрізок AB, що проходить через фокуси еліпса, кінці якого лежать на еліпсі, називається великий віссю даного еліпса. Довжина великої осі дорівнює 2a у вищенаведеному рівнянні.
• Відрізок CD, перпендикулярний великої осі еліпса, що проходить через центральну точку великий осі, кінці якого лежать на еліпсі, називається малою віссю еліпса.
• Відрізки, проведені з центру еліпса до вершин на великій і малій осях називаються, відповідно, велика піввісь і малої півосі еліпса, і позначаються a і b.
• Точка перетину великої і малої осей еліпса називається його центром.
• Відстані r1 і r2 від кожного з фокусів до даної точки на еліпсі називаються фокальними радіусами в цій точці.
• Відстань називається фокальним відстанню.
• Діаметром називають довільну хорду, що проходить через його центр. Сполученими діаметрами називають пару його діаметрів, що володіють наступною властивістю: середини хорд, паралельних першому діаметру, лежать на другому діаметрі. В цьому випадку і середини хорд, паралельних другого діаметру, лежать на першому діаметрі.
• Радіус еліпса в даній точці обчислюється за формулою, де x - кут нахилу до даної точки.
• Фокальним параметром називається половина довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярній великий осі еліпса.
• Відношення довжин малої і великої півосей називається коефіцієнтом стиснення еліпса або еліптичності. . Величина, що дорівнює називається стисненням еліпса. Для окружності коефіцієнт стиснення дорівнює одиниці, стиснення - нулю. Коефіцієнт і ексцентриситет еліпса пов'язані співвідношенням

2. Властивості

• Оптичне властивість. Світло від джерела, що знаходиться в одному з фокусів, відбивається еліпсом так, що відбиті промені перетнуться в другому фокусі.
• Якщо F1 і F2 - фокуси еліпса, то для будь-якої точки X, що належить еліпсу, кут між дотичній в цій точці і прямий (F1X) дорівнює куту між цією дотичній і прямий (F2X).
• Пряма, проведена через середини відрізків, відсічені двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а в подальшому осі, вершини і фокуси.
• Еволюта еліпса є астроїда.
• Точки перетину еліпса з осями є його вершинами.
• Ексцентриситет еліпса дорівнює відношенню. Ексцентриситет характеризує витягнутість еліпса. Чим ексцентриситет ближче до нуля, тим еліпс більше нагадує коло і навпаки, чим ексцентриситет ближче до одиниці, тим він більш витягнутий.
• Еліпс також можна описати як
  • фігуру, яку можна отримати з кола, застосовуючи Афінний перетворення
  • ортогональную проекцію кола на площину.
  • Перетин площини і кругового циліндра

3. Співвідношення між елементами еліпса

Частини еліпса (опис див. В розділі "Пов'язані визначення")

• - велика піввісь;
• - мала піввісь;
• - фокальний радіус (полурасстояніе між фокусами);
• - фокальний параметр;
• - періфокусное відстань (мінімальна відстань від фокуса до точки на еліпсі);
• - апофокусное відстань (максимальна відстань від фокуса до точки на еліпсі);

Еліпс є центральною невироджених кривої другого порядку і задовольняє загальним рівнянням виду

при инвариантах і де:

Співвідношення між інваріантами кривої другого порядку і півосями еліпса:

4.2. канонічне рівняння

Для будь-якого еліпса можна знайти декартову систему координат таку, що еліпс буде описуватися рівнянням (канонічне рівняння еліпса):

Воно описує еліпс з центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат. Для визначеності покладемо, що В цьому випадку величини a і b - відповідно, велика і мала півосі еліпса.

Знаючи піввісь еліпса можна обчислити його фокальное відстань і ексцентриситет:

Координати фокусів еліпса:

Еліпс має дві директриси, рівняння яких можна записати як

Фокальний параметр (тобто половина довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярній осі еліпса) дорівнює

Фокальні радіуси, т. Е. Відстані від фокусів до довільної точки кривої

Рівняння діаметра, сполученого хордам з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння дотичних, що проходять через точку

Рівняння дотичних, що мають даний кутовий коефіцієнт k.

Рівняння нормалі в точці

4.3. параметричне рівняння

Канонічне рівняння еліпса може бути параметризрвані:

де - параметр рівняння.

4.4. Рівняння в полярних координатах

Якщо прийняти фокус еліпса за полюс, а велику вісь - за полярну вісь, то його рівняння в полярних координатах матиме вигляд

де e - ексцентриситет, а p - фокальний параметр. При позитивному знаку перед e другий фокус еліпса буде знаходитися в точці а при негативному - в точці де фокальное відстань

Нехай r1 і r2 відстані до даної точки еліпса з першого і другого фокусів. Нехай, також полюс системи координат знаходиться в першому фокусі, а кут φ відраховується від напрямку на другий полюс. Тоді, з визначення еліпса,

З іншого боку, з теореми косинусів

Виключаючи r2 з останніх двох рівнянь, отримуємо

отримуємо дані рівняння.