равноточние вимірювання

Прямі багаторазові вимірювання діляться на одно- і неравноточних. Теоретичні основи і методика об'єднання результатів неравноточних вимірювань детально розглянуті в [3]. Так само точними називаються вимірювання, які проводяться засобами вимірювань однаковою точності по одній і тій леї методикою при незмінних зовнішніх умовах. При равноточних вимірах СКО результатів всіх рядів вимірювань рівні між собою.

Перед проведенням обробки результатів вимірювань необхідно упевнитися в тому, що дані з оброблюваної вибірки статистично підконтрольні, групуються навколо одного і того ж центру і мають однакову дисперсію. Стійкість змін часто оцінюють інтуїтивно на основі тривалих спостережень. Однак існують математичні методи вирішення поставленого завдання - так звані методи перевірки однорідності [3]. Стосовно до вимірювань розглядається однорідність груп спостережень, необхідні ознаки якої складаються в оцінці незсуненості середніх арифметичних і дисперсій відносно один одного.

Перевірка допустимості відмінності між оцінками дисперсій нормально розподілених результатів вимірювань виконується за допомогою критерію Р.Фішера при наявності двох груп спостережень і критерію М.Бартлетта, якщо груп більше. Критерій Фішера розглянуто в гл. 5.

Завдання обробки результатів багаторазових вимірювань полягає в знаходженні оцінки вимірюваної величини і довірчого інтервалу, в якому знаходиться її справжнє значення. Обробка повинна проводиться відповідно до ГОСТ 8.207-76 "ГСИ. Прямі вимірювання з багаторазовими спостереженнями. Методи обробки результатів спостережень. Загальні положення".

Вихідною інформацією для обробки є ряд з n (n> 4) результатів вимірювань x1. х2. Х.Г. хn. з яких виключені відомі систематичні похибки, - вибірка. Число n залежить як від вимог до точності одержуваного результату, так і від реальної можливості виконувати повторні вимірювання.

Послідовність обробки результатів прямих багатократних вимірювань складається з ряду етапів.

Визначення точкових оцінок закону розподілу результатів вимірювань. На цьому етапі визначаються:

• середнє арифметичне значення х вимірюваної величини за формулою (6.8);

• СКО результату вимірювання Sx за формулою (6.11) або (6.12);

• СКО середнього арифметичного значення Sx # 773; за формулою (6.10). Відповідно до критеріїв, розглянутими в гл. 7, грубі похибки і промахи виключаються, після чого проводиться повторний розрахунок оцінок середнього арифметичного значення і його СКО. У ряді випадків для більш надійної ідентифікації закону розподілу результатів вимірювань можуть визначатися інші точкові оцінки: коефіцієнт асиметрії, ексцес і контрексцесс, ентропійний коефіцієнт.

Визначення закону розподілу результатів вимірювань чи випадкових похибок вимірювань. В останньому випадку від вибірки результатів вимірювань х1. х2. х3, -. хn переходять до вибірці відхилень від середнього арифметичного Dх1. Dх2. Dх3. Dхn. де Dxi = xi - х # 773 ;.

Першим кроком при ідентифікації закону розподілу є побудова по виправленим результатами вимірювань xi. де I = 1, 2. n, варіаційного ряду (впорядкованої вибірки), а також уi. де уi = min (xi) і уn = mах (хi). У варіаційному ряду результати вимірювань (або їх відхилення від середнього арифметичного) розташовують в порядку зростання. Далі цей ряд розбивається на оптимальне число m, як правило, однакових інтервалів групування довжиною h = (y1 + yn) / m.

Завдання визначення оптимального числа m інтервалів групування розглядалася в ряді робіт, огляд яких дано в [4]. Оптимальним є таке число інтервалів m, при якому можливе максимальне згладжування випадкових флуктуації даних супроводжується з мінімальним спотворенням від згладжування самої кривої шуканого розподілу. Для практичного застосування доцільно використовувати запропоновані в [4] вираження mmin = 0,55n 0,4 і mmax = 1,25n 0,4. які отримані для найбільш часто зустрічаються на практиці розподілів з ексцесом, що знаходяться в межах від 1,8 до 6, тобто від рівномірного до розподілу Лапласа.

Шукане значення m повинно знаходитися в межах від mmjn до mmax. бути непарною, так як при парному m в гостровершинності або двухмодальном симетричному розподілі в центрі гістограми виявляються два рівних по висоті стовпчика і середина кривої розподілу штучно ущільнюється. У разі, якщо гістограма розподілу явно двухмодальная, число стовпців може бути збільшено в 1,5-2 рази, щоб на кожен з двох максимумів доводилося приблизно по m інтервалів. Отримане значення довжини інтервалу групування h завжди округлюють в більшу сторону, інакше остання точка виявиться за межами крайнього інтервалу.

Далі визначають інтервали групування експериментальних даних у вигляді D1 = (у1. Y1 + h); D2 = (y1 + h, y1 + 2h) ;. ; Dm = (yn - h; уn), і підраховують число влучень nk (частоти) результатів вимірювань в кожен інтервал групування. Сума цих чисел повинна дорівнювати числу вимірювань. За отриманими значеннями розраховують ймовірності попадання результатів вимірювань (частості) в кожен з інтервалів групування за формулою pk = nk / n, де k = l, 2. m.

Проведені розрахунки дозволяють побудувати гістограму, полігон і кумулятивну криву. Для побудови гістограми по осі результатів спостережень х (рис. 8.1, а) відкладаються інтервали Dk в порядку зростання номерів і на кожному інтервалі будується прямокутник висотою pk. Площа, яка знаходиться під графіком, пропорц / іональна числу спостережень n. Іноді висоту прямокутника відкладають різної емпіріческoй щільності ймовірності pk = Pk / Dk = nk / (nDk), яка є оцінкою середньої щільності в інтервалі Dk. У цьому випадку площа під гістограмою дорівнює одиниці. При збільшенні числа інтервалів і відповідно зменшення їх довжини гістограма все більш наближається до гладкої кривої - графіку щільності розподілу ймовірності. Слід зазначити, що в ряді слуяаев виробляють розрахункове симетрування гістограми, методика якого приведена в [4]

Полігон являє собою ламану криву, яка з'єднує середини верхніх підстав кожного стовпчика гістограми (див. Рис. 8.1, а). Він більш наочно, ніж гістограма, відображає форму кривої розподілу. За межами гістограми праворуч і ліворуч залишаються порожні інтервали, в яких точки, що відповідають їх серединам, лежать на осі абсцис.

Мал. 8.1. Гістонрамма, полігон (а) і кумулятивна крива (б)

Ці точки при побудові полігону з'єднують між собою відрізками прямих ліній. В результаті спільно з віссю х утворюється замкнута фігура, площа якої відповідно до правила нормування повинна бути дорівнює одиниці (або числу спостережень при використанні частостей).

Кумулятивна крива - це графік статистичної функції розподілу. Для її побудови по осі результатів спостережень х (рис. 8.1,6) відкладають інтервали Dk в порядку зростання номерів і на кожному інтервалі будують прямокутник висотою

Значення Fk називається кумулятивною частостей, а сума nk - кумулятивної частотою.

По виду побудованих залежностей може бути оцінений закон розподілу результатів вимірювань.

Оцінка закону розподілу за статистичними критеріями. При числі спостережень n> 50 для ідентифікації закону розподілу використовується критерій Пірсона (хі-квадрат, см. 8.1.2) або критерій Мізеса-Смирнова (w2). При 50> n> 15 для перевірки нормальності закону розподілу застосовується складовою критерій (d-критерій), наведений в ГОСТ 8.207-76. при n <15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Визначення довірчих меж випадкової похибки. Якщо вдалося ідентифікувати закон розподілу результатів вимірювань, то з його використанням знаходять квантільний множник zp при заданому значенні довірчої ймовірності Р. В цьому випадку довірчі кордону випадкової похибки А = ± zp S -.

Визначення меж невиключену систематичної похибки q результату вимірювань. Під цими межами розуміють знайдені нестатистичні методами межі інтервалу, всередині якого знаходиться невиключену систематична похибка. Вона утворюється з ряду складових: як правило, похибок методу та засобів вимірювань, а також суб'єктивної похибки. Межі невиключену систематичної похибки приймаються рівними меж допустимих основних і додаткових похибок засобів вимірювань, якщо їх випадкові складові нехтує малі. Вони підсумовуються за правилами, розглянутими в розд. 9.2. Довірча ймовірність при визначенні меж 6 приймається рівною довірчої ймовірності, використовуваної при знаходженні меж випадкової похибки.

Визначення довірчих меж похибки результату вимірювання D р. Дана операція здійснюється шляхом підсумовування СКО випадкової складової Sx # 773; і кордонів невиключену систематичної складової q в залежності від співвідношення q / Sx # 773; за правилами, викладеним в розд. 9.4.

Запис результату вимірювання. Результат вимірювання записується у вигляді х = х # 773; ± Dp при довірчій ймовірності Р = Р. При відсутності даних про вид функції розподілу складових похибки результати вимірювань представляють у вигляді х, S-, п, 8 при довірчій ймовірності Р = Р д.