Радіус і інтервал збіжності статечного ряду - студопедія

З теореми Абеля слід, що якщо статечної ряд сходиться, при деякому значенні х0. то цей ряд абсолютно сходиться в проміжку зміни від -х0 до х0. (-х0; х0).

Якщо при деякому значенні ряд розходиться, то він розходиться для всіх х задовольняють нерівностям, або - інтервали розбіжність.

Визначення: Інтервал (-R; + R), всередині якого статечної ряд сходиться, називається інтервалом збіжності ряду. Половина інтервалу збіжності ряду називається радіусом збіжності.

(-R; + R) - інтервал збіжності;

R- радіус збіжності.

На кінцях інтервалу ряд може сходитися і розходитися.

1. Якщо ряд (1) сходиться в точці х = 0, то R = 0

2. Якщо ряд (1) сходиться для будь-якого х, то

3. Якщо ряд (1) сходиться в (-R; + R), то в x = -R і x = + R статечної ряд досліджується окремо.

Зазначимо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. (1)

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин його членів:

Для визначення збіжності ряду (4) застосуємо ознаку Даламбера. Припустимо, що існує межа:

За ознакою Даламбера ряд (4) сходиться,

якщо <1, т.е. и расходится если

З попереднього випливає, що інтервал збіжності позначимо, тоді (по Даламберу).

Аналогічним чином можна визначити інтервал збіжності за ознакою Коші.

Розглянемо приклади: Визначити інтервали збіжності степеневих рядів

ряд сходиться всюди.