раціональні дроби
Почнемо з деяких визначень. Многочленом n-го ступеня (або n-го порядку) будемо називати вираз виду $ P_n (x) = \ sum \ limits_ ^ a_x ^ = a_x ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n $. Наприклад, вираз $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ є многочлен, ступінь якого дорівнює $ 14 $. Його можна позначити так: $ P_ (x) = 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $.
Відношення двох многочленів $ \ frac $ називається раціональною функцією або раціональної дробом. Якщо точніше, то це раціональна функція однієї змінної (тобто змінної $ x $).Раціональний дріб називається правильною. якщо $ n Вказати, які з наведених нижче дробів є раціональними. Якщо дріб є раціональною, то з'ясувати, правильна вона чи ні. 1) Дана дріб не є раціональною, оскільки містить $ \ sin x $. Раціональний дріб цього не допускає. 2) Ми маємо відношення двох многочленів: $ 5x ^ 2 + 3x-8 $ і $ 11x ^ 9 + 25x ^ 2-4 $. Отже, згідно з визначенням, вираз $ \ frac $ є раціональний дріб. Так як ступінь многочлена в чисельнику дорівнює $ 2 $, а ступінь многочлена в знаменнику дорівнює $ 9 $, то дана дріб є правильною (бо $ 2 <9$). 3) І в чисельнику, і в знаменнику даної дробу розташовані многочлени (розкладені на множники). Нам зовсім неважливо, в якій формі представлені многочлени чисельника і знаменника: розкладені вони на множники чи ні. Так як ми маємо відношення двох многочленів, то згідно з визначенням вираз $ \ frac (15x ^ + 9x-1)> $ є раціональний дріб. Щоб відповісти на питання про те, чи є дана дріб правильної, слід визначити ступеня многочленів в чисельнику і знаменнику. Почнемо з чисельника, тобто з виразу $ (2x ^ 3 + 8x + 4) (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 145) ^ 9 (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) $. Для визначення ступеня цього многочлена можна, звичайно, розкрити дужки. Однак розумно вчинити набагато простіше, бо нас цікавить лише найбільша ступінь змінної $ x $. Виберемо з кожної дужки змінну $ x $ найбільшою мірою. З дужки $ (2x ^ 3 + 8x + 4) $ візьмемо $ x ^ 3 $, з дужки $ (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 9) ^ 9 $ візьмемо $ (x ^ 4) ^ 9 = x ^ = x ^ $, а з дужки $ (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) $ виберемо $ x ^ 7 $. Тоді після розкриття дужок найбільша ступінь змінної $ x $ буде такою: Ступінь многочлена, розташованого в чисельнику, дорівнює $ 46 $. Тепер звернемося до знаменника, тобто до вираження $ (5x + 4) (3x ^ 2 + 9) ^ (15x ^ + 9x-1) $. Ступінь цього многочлена визначається так само, як і для чисельника, тобто У знаменнику розташований многочлен 41-го ступеня. Так як ступінь многочлена в чисельнику (тобто 46) незгірш від ступеня многочлена в знаменнику (тобто 41), то раціональна дріб $ \ frac (15x ^ + 9x-1)> $ є неправильною. 4) У чисельнику дробу $ \ frac $ варто число $ 3 $, тобто многочлен нульової ступеня. Формально чисельник можна записати так: $ 3x ^ 0 = 3 \ cdot1 = 3 $. У знаменнику маємо многочлен, ступінь якого дорівнює $ 6 \ cdot 4 = 24 $. Відношення двох многочленів є раціональний дріб. Так як $ 0 <24$, то данная дробь является правильной. Відповідь. 1) дріб не є раціональною; 2) раціональна дріб (правильна); 3) раціональний дріб (неправильна); 4) раціональний дріб (правильна). Тепер перейдемо до поняття елементарних дробів (їх ще називають найпростішими раціональними дробами). Існують чотири типи елементарних раціональних дробів: Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати \ приховати Навіщо потрібно умова $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует. Наприклад, для вираження $ x ^ 2 + 5x + 10 $ отримаємо: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot 10 = -15 $. Так як $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители. До речі сказати, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ дорівнював 1. Наприклад, для $ 5x ^ 2 + 7x-3 = 0 $ отримаємо: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = 109 $. Так як $ D> 0 $, то вираз $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ розкладені на множники. Завдання полягає в наступному: задану правильну раціональну дріб представити у вигляді суми елементарних раціональних дробів. Вирішенню цього завдання і присвячений матеріал, викладений на даній сторінці. Для початку потрібно переконатися, що виконана така умова: многочлен в знаменнику правильної раціональної дробу розкладений на множники таким чином, що оне розкладання містить лише дужки виду $ (xa) ^ n $ або $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $ ($ p ^ 2-4q <0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему: Якщо ж дріб неправильна, то перед застосуванням вищевикладеної схеми слід розбити її на суму цілої частини (многочлен) і правильної раціональної дробу. Як саме це робиться, розберемо далі (див. Приклад №2 пункт 3). Пару слів щодо літерних позначень в чисельнику (тобто $ A $, $ A_1 $, $ C_2 $ і тому подібні). Букви можна використовувати будь-які - на свій смак. Важливо лише, щоб ці букви були різними у всіх елементарних дробах. Щоб знайти значення цих параметрів застосовують метод невизначених коефіцієнтів або метод підстановки приватних значень (див. Приклади №3, №4 та №5). Розкласти задані раціональні дроби на елементарні (без знаходження параметрів): 1) Маємо раціональну дріб. У чисельнику цього дробу розташований многочлен 4-го ступеня, а в знаменнику поліном, ступінь якого дорівнює $ 17 $ (як визначити цей ступінь детально пояснено в пункті №3 прикладу №1). Так як ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику, то дана дріб є правильною. Звернемося до наменателю цього дробу. Почнемо з дужок $ (x-5) $ і $ (x + 2) ^ 4 $, які повністю підпадають під вид $ (x-a) ^ n $. Крім того, є ще й дужки $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ і $ (x ^ 2 + 11) ^ 5 $. Вираз $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ має вигляд $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, де $ p = 3 $; $ Q = 10 $, $ n = 1 $. Так як $ p ^ 2-4q = 9-40 = -31 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q <0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила (1)-(4). изложенные выше. Согласно правилу (1) скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac$. Это можно записать так: Згідно з правилом (2) скобці $ (x + 2) ^ 4 $ відповідатиме сума чотирьох дробів $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Допишемо цю суму до вже наявного розкладу: Згідно з правилом (3) скобці $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ відповідатиме дріб $ \ frac $. Допишемо цю дріб до розкладання: І, нарешті, згідно з правилом (4) скобці $ (x ^ 2 + 11) ^ 5 $ відповідатиме сума п'яти дробів $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Допишемо цю суму до вже наявного розкладанню і завдання буде вирішена, бо все дужки знаменника вичерпані: 2) Маємо раціональну дріб. Ступінь многочлена в чисельнику (тобто 2) менше ступеня многочлена в знаменнику (тобто 9), тому дана дріб - правильна. Звернемося до знаменника. Дужка $ (x-2) ^ 3 $ підпадає під вид $ (x-a) ^ n $, тому підемо далі. Дужка $ (x ^ 3-8) $ не підпадає ні під вид $ (x-a) ^ n $ ні під вид $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $. Це говорить про те, що дужку $ (x ^ 3-8) $ необхідно розкласти на множники. Це легко зробити, якщо згадати формулу різниці кубів: Дужка $ (x-2) $ підпадає під вид $ (x-a) ^ n $. Дужка $ (x ^ 2 + 2x + 4) $ має вигляд $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, де $ p = 2 $, $ q = 4 $, $ n = 1 $. При цьому $ p ^ 2-4q = 4-16 = -12 <0$, посему дальнейшее разложение невозможно. Итак, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, поэтому знаменатель станет таким: Підемо далі. Наступна дужка на черзі - це $ (3x + 5) $. Ця дужка підпадала б під форму $ (x-a) ^ n $, якби не коефіцієнт $ 3 $ перед $ x $. Винесемо цю трійку за дужку: $ (3x + 5) = 3 \ cdot \ left (x + \ frac \ right) $. Знаменник тепер перетвориться таким чином: Тепер настав час для дужки $ (3x ^ 2-x-10) $. Вона підпадала б під форму $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, якби не "зайвий" коефіцієнт $ 3 $ перед $ x ^ 2 $. Крім того, дужка $ (3x ^ 2-x-10) $ разложима на множники, в чому нескладно переконатися, вирішивши відповідне квадратне рівняння: Так як $ 3x ^ 2-x-10 = 3 \ cdot \ left (x + \ frac \ right) (x-2) $, то знаменник стане таким: $$ 3 \ cdot (x-2) ^ 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) (3x ^ 2x-10) = \\ = 9 \ cdot (x-2 ) ^ 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) \ left (x + \ frac \ right) (x-2) = 9 \ cdot (x-2) ^ 5 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) ^ 2 $$ І сама вихідна дріб нині стане такою: Тепер можна перейти безпосередньо до елементарних дробям. Діючи точно так же, як і в пункті №1 цього прикладу, будемо мати: 3) Маємо раціональну дріб. Ступінь могочлена в чисельнику (тобто 5) незгірш від ступеня многочлена в знменателе (тобто 3), тому дана дріб є неправильною. Отже, перед тим, як розкладати цю раціональну дріб на елементарні, доведеться виділити цілу частину (многочлен). Для цього розділимо многочлен, розташований в чисельнику, на многочлен в знаменнику. Використовуємо спосіб поділу "куточком".
Отриманий результат можна записати так:
Дріб $ \ frac $ є правильною раціональної дробом, тому що міра многочлена в чисельнику (тобто 2) менше ступеня многочлена в знаменнику (тобто 3). Тепер звернемося до знаменника даної дробу. У знаменнику розташований многочлен, який потрібно розкласти на множники. Іноді для розкладання на множники корисна схема Горнера. але в нашому випадку простіше обійтися стандартним "шкільним" методом угруповання доданків:
Застосовуючи ті ж методи, що і в попередніх пунктах, отримаємо:
Отже, остаточно маємо:
Продовжуючи цю тему буде розглянуто у другій частині.