проективна геометрія

проективної геометрії

З давніх-давен художники зображували на картинах перспективу за допомогою ліній, що перетинаються на горизонті. Один з чудових етапів в історії геометрії почався, коли французький математик і архітектор Ж. Дезарг (1593-1662) вирішив надати цим уявленням художників точний математичний сенс. Він запропонував додати до звичайних кінцевих точок площині ще додаткові нескінченно віддалені точки, в яких перетинаються паралельні прямі. Нескінченно віддалені точки називали невласними або ідеальними, щоб підкреслити їх відмінність від справжніх точок. Але далі Дезарг закликав якомога швидше забути про це відмінності, стверджуючи, що тільки тоді може бути користь від розгляду нескінченно віддалених точок.

Скільки нескінченно віддалених точок потрібно додати до площини? Природно було б вважати, що всі паралельні один одному прямі перетинаються в одній нескінченно віддаленій точці, яку і потрібно додати до точок цих прямих. Важливо було здогадатися, що всі ці точки для різних напрямків прямих заповнять одну нескінченно віддалену пряму, якій на картинах художників служить лінія горизонту. Отримана в результаті площину називається розширеною або проективної.

В геометрії Евкліда взаємне положення точок і прямих регулюється двома твердженнями: через дві різні точки проходить єдина пряма, а дві різні прямі або перетинаються в єдиній точці, або паралельні. На розширеній площині ці твердження стають простіше, оскільки будь-які дві прямі там перетинаються, при цьому різні властивості паралельних прямих перетворюються в окремі випадки тверджень для пересічних прямих. Нехай, наприклад, ми маємо дві точки: одну - кінцеву, а іншу - нескінченно віддалену. Для завдання досить вказати яку-небудь пряму, якій належить (всі паралельні прямі перетинаються в). Тоді твердження про те, що через та проходить, і притому єдина, пряма, рівнозначно тому, що через точку, що не лежить на, проходить єдина пряма, паралельна. Розглянувши ще кілька подібних ситуацій, неважко переконатися, що дуже зручно вважати паралельність окремим випадком перетину.

У цих міркуваннях ми рішуче поділяли кінцеві і нескінченно віддалені точки. Щоб стерти ці відмінності, Дезарг пропонує міркувати таким чином. Різні площині в тривимірному просторі сприймаються як образи однієї і тієї ж площині, а картинки на цих площинах порівнюються за допомогою центрального проектування. А саме, фіксується точка в просторі (рис. 1); точки на площині і на площині вважаються відповідними один одному (зображеннями однієї і тієї ж точки на різних «картинах»), якщо і лежать на одній прямій, що проходить через. Так що якщо на є деяка фігура, то се точки з'єднуються з прямими, а з перетинів цих прямих з площиною збирається фігура на, відповідна (називається центральної проекцією на з точки фігури). Такого роду перетворення фігур вже виникали раніше при побудові зображень.

«Основна ідея цієї чистої геометрії народилася з бажання художників Відродження створити« зорову »геометрію. Як виглядають предмети в дійсності і як їх можна зобразити в площині креслення? ». С. Г. Гульд

Придивіться уважніше до виникає перетворення. Може трапитися так, що пряма, що з'єднує точку з точкою, буде паралельна площині і в результаті точка на площині не буде відповідати ніякої точці. Дезарг пропонує вважати, що чином тоді є нескінченно віддалена точка на (образ «пішов на нескінченність»). Якщо провести через площину, паралельну, то в перетині з вийде пряма, якій в силу сказаного природно поставити у відповідність на площині нескінченно віддалену пряму. Якщо ж, навпаки, провести через точку площину, паралельну, то при перетині з вийде пряма, в точки якої при проектуванні НЕ будуть переходити ніякі кінцеві точки площині, і приймається, що в переходить нескінченно віддалена пряма площині. Отже, по Дезаргом, одні і ті ж фігури по-різному зображуються на різних площинах в просторі. Зокрема, одна і та ж пряма на одній площині постане перед нами як нескінченно віддалена, а на інший як кінцева. Тому якщо ми не хочемо, щоб точки на одних картинах зникали, а на інших виникали з нічого, то ми повинні розглядати розширену (проектну) площину.

Для того щоб зробити цю точку зору робочої, треба з'ясувати, наскільки ж різняться зображення одних і тих же об'єктів. Ясно, що спотворення при центральному проектуванні дуже велике, але чи властиві різним зображенням хоч якісь загальні риси? Перш за все зберігається прямолінійність: прямі переходять в прямі, що перетинаються прямі в пересічні (паралельність окремий випадок!). Зверніть увагу на те, скільки винятків довелося б обумовити вже тут, не введи ми нескінченно віддалених елементів.

Чудова думка Дезарга полягала в тому, що є змістовні геометричні твердження, в яких мова йде лише про пересічних прямих. Теорема, наведена нижче, носить його ім'я. Нехай для трикутників і прямі (рис. 2), що з'єднують вершини, і, і, і перетинаються в одній точці. Тоді точки перетину відповідних сторін (і, і, і) лежать на одній прямій. Верна і зворотна теорема. Найвідоміше сьогодні доказ теореми Дезарга дуже красиво і пов'язане з переходом до її просторового варіанту. Досить повчальний і інший спосіб міркування. Оскільки в теоремі мова йде лише про взаємне положення точок і прямих, що зберігаються при центральному проектуванні, з справедливості теореми в одній картині слід її справедливість в будь-який інший. Іншими словами, можна зробити центральну проекцію так, щоб ситуація стала особливо простий. Наприклад, якщо зробити точки нескінченно віддаленими (відповідні сторони будуть паралельні), то вийде елементарне твердження, яке легко довести, користуючись подібністю трикутників. Загальний випадок буде виходити автоматично!

«Художнику необхідна математика його мистецтва. Вчення про перспективу - це і вожатий, і врата; без нього нічого хорошого в живопису створити неможливо ». Леонардо Да Вінчі

«Малюнок предмета - це перетин конуса, що складається з прямих, проведених з ока художника до різних точок зображуваного предмета». С. Г. Гульд

Слід зауважити, що в проективної геометрії поняття трикутника потребує уточнення. Власне кажучи, треба перш за все уточнити поняття відрізка. Проективну пряму слід собі мислити як замикається через свою нескінченно віддалену точку, і пара точок визначає на прямий два відрізки (з точки зору геометрії Евкліда, відрізок і його доповнення - пару променів). Як завжди, перевірка правильності визначення проводиться за допомогою центральної проекції. Ясно, що якщо точки переходять в і якась точка відрізка йде при проектуванні на нескінченність, то переходить при проектуванні в зовнішність відрізка, тобто дійсно, в проективної геометрії відрізки і їх зовнішності не можна розрізняти. Відповідно три точки на проективної площині (що не лежать на одній прямій) визначають 4 трикутника. Втім, для теореми Дезарга це несуттєво, так як в ній фактично фігурують лише вершини і прямі, на яких лежать боку.

Ми обговорили ситуацію із взаємним положенням точок і прямих в проективної геометрії. А як справи з іншими фігурами? Наприклад, окружність при центральному проектуванні, хоча і не залишається окружністю, все ж не спотворюється «безконтрольно»: вона завжди зображується конічним перетином (еліпсом, гіперболою або параболою). Проективна геометрія відкрила нову епоху у вивченні конічних перетинів. Одну з перших теорем в цьому напрямку довів Б. Паскаль (1623-1662) у віці 16 років: три точки перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в конічний перетин, лежать на одній прямій (рис. 3). Зауважимо, що центральна проекція дозволяє звести випадок довільного конічного перетину до випадку окружності.

Про чудових роботах Ж. Дезарга і Б. Паскаля забули на півтора століття. Нове життя проективної геометрії почалася з робіт французьких математиків Г. Монжа (1746-1818) і його учня Ж. Понселе (1788-1867). Останній задумався над питанням, чому еліпси зазвичай перетинаються в чотирьох точках, а окружності - тільки в двох. Він виявив, що ми не помічаємо двох інших точок перетину в разі кіл, оскільки вони є не тільки нескінченно віддаленими, а й уявними. Таким чином в геометрії з'явилися комплексні числа.

Подальший розвиток проективної геометрії полягало в тому, що геометри знаходили співвідношення, які не змінюються при центральному проектуванні. Дуже непросто було знайти числові співвідношення, що володіють цією властивістю, адже відстані змінюються істотно. Виявляється, що якщо взяти чотири точки на одній прямій (див. Малюнок вище) і скласти так зване складне, або подвійне ставлення чотирьох точок, то воно не буде змінюватися при центральних проектування і їх композиціях - проективних перетвореннях (див. Геометричні перетворення). Не потрібно боятися, що деякі з наведених тут відстаней можуть приймати нескінченні значення: якщо нескінченність є в чисельнику, то вона є і в знаменнику, і потрібно домовитися формально скорочувати їх. Подвійне ставлення чотирьох точок дорівнює величині

яка називається подвійним ставленням чотирьох прямих, що проходять через одну точку (воно також зберігається при проектних перетвореннях).

Для кожного поняття і затвердження проектної геометрії, в якому беруть участь точки, прямі, а також конічні перетину, можна побудувати двоїсте твердження, в якому роль точок гратимуть прямі і навпаки, а приналежність точок прямим зберігається; при цьому безлічі точок конічного перетину буде двояко безліч всіх дотичних до коническому перетину прямих. Наприклад, теоремі Паскаля (рис. 3) двоїста така теорема Бріаншона (рис. 4): три прямі, що з'єднують вершини шестикутника, описаного навколо конічного перетину, перетинаються в одній точці. Конфігурація Дезарга з 10 точок і 10 прямих (рис. 2) двоїста сама собі.

Узагальнення поняття проективної площині - кінцеві проектні площині, -мірні (речові і комплексні) проектні простору - в наші дні широко застосовуються в різних розділах математики і її додатках - комбінаторики, теорії алгебраїчних кривих і поверхонь.