Про графіках функцій

Функція і її графік є одними з центральних математичних понять. Вони детально вивчаються в шкільній програмі, тому вільне володіння ними є обов'язковою вимогою до здають ЄДІ. Функції часто задаються виразами виду або. Яким би не був вираз, воно дозволяє обчислити значення функції з будь-якого допустимого значення аргументу. Для тієї ж мети можна використовувати і графік функції - наприклад, параболу:

Для визначення значення функції в точці будується вертикальна пряма, що проходить через неї. Потім будується горизонтальна пряма, що проходить через точку перетину прямої і параболи. Шукане значення функції дорівнюватиме координаті на осі в точці перетину з прямою.

Незважаючи на широту застосування функцій, школярі (і студенти) часто роблять одну і ту ж помилку, розмірковуючи про них, як про довільних кривих на координатної площині. Для того щоб її продемонструвати, внесемо зміни в попередній графік. Розглянемо криву такий же параболічної форми, гілки якої спрямовані вправо:

Спробуємо розібратися, що це за функція. Знайдемо її значення, наприклад, в точці. За допомогою побудови допоміжних прямих отримаємо два числа і. Як зрозуміти, яке з них буде шуканим значенням функції? Правильна відповідь - ніяк. Якщо крива має кілька точок перетину хоч з якоюсь вертикальної прямої, то вона не є графіком ніякої функції.

З іншого боку, числа і є квадратними корінням з. Такий же результат отримаємо і для будь-якої точки з позитивною координатою. Це не дивно, тому як форма «горизонтальної параболи» задана виразом. Виходить, що вона є графічним представленням квадратного кореня (алгебраїчного квадратного кореня - див. Попередню замітку). Якщо ж розглядати її гілки окремо, то вони є графіками функцій арифметичного квадратного кореня і.

Питання про те, чому функція не може мати кілька значень в одній точці, є предметом угоди. У шкільній програмі і ЄДІ використовуються тільки такі однозначні функції, але при необхідності математики розглядають і «функції», мають більш одного значення (багатозначні функції). Наведемо приклад того, що зміниться, якщо використовувати їх разом з однозначними функціями. Знайдемо значення виразу

На перший погляд все просто - після підстановки значення замість змінної і виконання зазначених дій виходить остаточну відповідь. Але, припустимо, що в завданні використовується не арифметичний корінь (), а приймає два значення алгебраїчний (). Тоді результат можна буде умовно записати в наступному вигляді:

Існує вісім різних комбінацій цих чисел, тому однозначної відповіді отримати не можна. Така ж ситуація може бути з будь-яким виразом, в якому використовуються «функції», які беруть кілька значень.

На закінчення розглянемо ситуацію з корінням довільній ступеня. Для кореня парного степеня, наприклад, вона принципово не відрізняється від випадку квадратного кореня. Будь-якому позитивному числу відповідає рівно два кореня четвертого ступеня - позитивний і негативний, які є значеннями функцій і. Для кореня непарного степеня, наприклад кубічного, ситуація зміниться, так як будь-якого числа відповідає рівно один кубічний корінь. Тому, на відміну від квадратного кореня, все його значення можна описати однією функцією.