Принцип еквівалентності процентних ставок

У фінансовій практиці нерідко виникають ситуації, коли необхідно замінити одне фінансове зобов'язання іншим (наприклад, з більш віддаленим терміном платежу) або об'єднати декілька зобов'язань в одне (консолідувати платежі) і т.п. При цьому виникає питання про принцип, згідно з яким повинні проводитися зміни умов угоди. Подібним принципом є фінансова еквівалентність зобов'язань, яка передбачає незмінність фінансових відносин сторін до і після змін умов платежів. Принцип фінансової еквівалентності дозволяє вирішувати завдання щодо зміни умов угод - об'єднання декількох платежів в один, заміні одного кількості платежів іншим, зміни термінів платежів, їх розмірів і т.д.

Еквівалентними вважаються такі платежі, які, будучи приведеними до одного і того ж моменту часу, виявляться рівними [4, с.19].

Дві процентні ставки називаються еквівалентними. якщо при заміні однієї ставки на іншу фінансові відносини сторін не змінюються. Таким чином, учасникам фінансового угоди байдуже, яка ставка буде фігурувати в контракті [10, с.171].

Для знаходження еквівалентних процентних ставок використовують рівняння еквівалентності, принцип складання яких полягає в наступному. Вибирається величина, яку можна розрахувати при використанні різних процентних ставок (зазвичай це нарощена сума S). На основі рівності двох виразів для даної величини і складається рівняння еквівалентності, з якого шляхом відповідних перетворень виходить співвідношення, що виражає залежність між процентними ставками різного виду.

Розглянемо випадок, коли всі умови фінансової операції збігаються, т. Е. Початковий капітал, тимчасова база, метод розрахунку (точний або звичайний) відсотків і період нарахування однакові. В іншому випадку застосовуються ті ж міркування і перетворення, тільки отримані формули будуть містити кілька більшу кількість змінних.

Повторимо формули для визначення нарощеної суми при різних способах нарахування відсотків, отримані раніше:

Прирівнюючи ці формули попарно, можна отримати співвідношення, що виражають залежність між будь-якими двома різними процентними ставками.

Розглянемо кілька випадків.

Прирівнюючи співвідношення (1.7) і (1.20), отримаємо

Вирази (1.51) і (1.52) є еквівалентними з простою ставкою позичкових відсотків і простий обліковою ставкою, так як вони забезпечують однакову прибутковість позичкової операції.

Якщо термін позики вимірюється в днях, тоді

де Yr і Yd - тимчасові бази для нарахування відсотків по позичкової і облікової ставок, які можуть бути різними.

Отримані еквівалентні ставки r та d можуть бути використані при порівнянні прибутковості угод, в яких застосовуються різні види ставок. З наведених вище формул легко помітити, що зі зменшенням n (t / Y) відмінність між еквівалентними ставками r і d стає менш помітним.

З формул (1.7) і (1.23) для визначення еквівалентних значень простих і складних позичкових процентних ставок маємо:

Звідси, ставка простих позичкових відсотків, еквівалентна ставці складних відсотків, дорівнює:

Ставка складних відсотків, еквівалентна ставці простих відсотків:

З виразів (1.55) і (1.56) випливає, що еквівалентні процентні ставки істотно залежать від терміну нарахування відсотків n.

Якщо необхідно визначити еквівалентні значення простий і номінальною ставок позичкових відсотків, то складають рівняння еквівалентності, прирівнюючи формули (1.7) і (1.28):

Якщо необхідно визначити еквівалентні значення простий облікової та складної позичкової ставки відсотків, то складають наступне рівняння еквівалентності, прирівнюють вираження (1.20) і (1.23):

де - період нарахування облікової ставки;

- період нарахування позичкової процентної ставки.

З іншого боку,

Прирівнюючи (1.23) і (1.38), отримуємо рівняння еквівалентності для визначення еквівалентних складних позичкових і складних облікових ставок:

Розглянемо, яке співвідношення існує між номінальною і відповідної їй складною позичкової річний процентними ставками. Складемо рівняння еквівалентності, прирівнюючи (1.23) і (1.28).

Отримана за формулою (1.69) річна ставка складних відсотків, еквівалентна номінальній процентній ставці, називається ефективною ставкою складних відсотків.

Ставка j / m називається релятивной процентної, що розраховується за півроку, квартал, місяць, і т.д. Номінальну ставку знаходимо за формулою

Заміна в договорі номінальної ставки j за умови, що вона починається m раз на рік, на ефективну rc не змінює фінансових результатів.

Ефективну ставку складних відсотків корисно знати, щоб оцінити реальну прибутковість фінансової операції, або порівняти процентні ставки в разі, коли використовуються різні інтервали нарахування

Очевидно, що значення ефективної процентної ставки більше значення номінальної, а збігаються вони при m = 1.

Проаналізувавши отримані формули, можна зробити два зауваження.

1. Еквівалентність різних процентних ставок ніколи не залежить від величини початкової суми Р (для даного випадку, що розглядається, коли первоначальна сума Р передбачається однаковою).

2. Еквівалентність процентних ставок завжди залежить від тривалості періоду нарахування за винятком випадку еквівалентності між собою складних процентних ставок різного виду (якщо період нарахування один і той же).

Використовуючи для обчислення формули (1.23) і (1.39), можна побудувати таблицю, яка відображатиме залежність між еквівалентними процентними ставками і ставками позичкових відсотків (таблиця 4).

Таблиця 4 - Залежність між еквівалентними складними обліковими dc і складними позичковими rc ставками відсотків

З таблиці 4 видно, що невеликі облікові ставки мають еквівалентні ставки позичкового відсотка, порівнянні за величиною, але з ростом облікових ставок різниця збільшується дуже швидко.

Розглянемо приклади по викладеної теми.

Приклад 1.12. Необхідно визначити значення простий облікової ставки, еквівалентній простий позичкової ставкою, що дорівнює 10%.

За формулою (1.52) знаходимо:

Таким чином, операція, в якій фігурує проста облікова ставка 9,09%, дає для річного періоду такий же фінансовий результат, що і проста позичкова ставка відсотків, яка дорівнює 10% річних.

Приклад 1.13. Визначити, під яку ставку відсотків вигідніше помістити капітал в розмірі 10000 руб. на 5 років:

а) під просту позичкову ставку відсотків 22% річних;

б) під номінальну позичкову ставку в 18% при щоквартальному нарахуванні?

В даному випадку не обов'язково вважати величину нарощеної суми, одержуваної при різних процентних ставках.

Досить знайти, наприклад, просту позичкову ставку, еквівалентну даній номінальній ставці, скориставшись формулою (1.57):

Так як проста процентна ставка (28,2%), яка дала б однаковий з даної номінальної відсоткової ставки результат, значно перевищує запропоновану (22%), ясно, що набагато вигідніше використовувати номінальну процентну ставку. Порахуємо тепер нарощені суми, одержувані в двох випадках, що б побачити, наскільки більш вигідна складна ставка. Використовуємо для цього формули (1.7) і (1.28).

б) S = 10000 (1 + 0,045) = 24117 руб.

Відчутна різниця в результатах підтверджує зроблений раніше висновок. Можна помітити, що рішення прикладу з використанням еквівалентних процентних ставок вимагає в два рази менше обчислень.