приклад i

Отже, жорданова нормальна форма матриці складається з клітин Жордана з числами I та -I на діагоналі. Кількість всіх клітин з числом I на діагоналі одно. Кількість всіх клітин з числом -I на діагоналі одно.

Приклад 2. Знайти жорданову нормальну форму матриці

Отже, на діагоналі стоять клітки Жордана з числами -I і 2. Кількість всіх клітин з числом -I на діагоналі одно. Кількість всіх клітин з числом 2 на діагоналі одно. Так як число є 3-кратним коренем характеристичного многочлена, то на діагоналі матриці варто одна клітина Жордана порядку і одна клітина Жордана близько 2 з числом на діагоналі. значить,

Приклад 3. Знайти жорданову нормальну форму матриці

Отже, за теоремою Гамільтона-Келі. тобто лінійний оператор з матрицею є нильпотентною.

Жорданова нормальна форма матриці знайдена в § 2. Вона дорівнює

Нехай - лінійний оператор -мірного лінійного простору, - його матриця в деякому базисі. Зазначимо зараз спосіб побудови канонічного базису відносно. знаючи жорданову нормальну форму матриці. Для цього достатньо знайти матрицю переходу від даного базису до шуканого канонічного. Як відомо, тоді

Матриця. задовольняє рівності (I), може бути знайдена таким шляхом. Помножимо обидві частини рівності (I) зліва на і перенесемо всі члени отриманого рівності в ліву частину. отримаємо рівність

яке можна розглядати як однорідну систему лінійних рівнянь, в якій невідомими є елементи матриці. Будь-яке рішення такої системи, що задовольняє додатковій умові

дає потрібну матрицю. Таке рішення існує з огляду на подібності і.

Вправа. Відомо, що матриці з елементами з нескінченного поля подібні над розширенням цього поля. Довести, що вони подібні до над полем.

§ 5. Узагальнена жорданова нормальна форма.

Нехай - лінійний оператор дійсного -мірного лінійного простору. Так як характеристичний поліном оператора може мати недійсні коріння, то канонічний базис щодо. взагалі кажучи, не існує. Проте в дійсному просторі можна знайти деяку природну заміну жорданової нормальної форми матриці оператора.

Нехай - не приводиться над полем поліном, і - його коріння,. Розглянемо квадратну матрицю

порядку. Позначимо її і назвемо узагальненої кліткою Жордана. Цю матрицю можна записати у вигляді

повторюється на "діагоналі" раз, а й - одинична і нульова матриці другого порядку.

Квазідіагональную матрицю. кожна "діагональна" клітина якої є клітина Жордана або узагальнена клітина Жордана, назвемо узагальненої жорданової матрицею. Зокрема, може бути.

Нехай - квадратна матриця над полем. Узагальнену жорданову матрицю, подібну матриці. назвемо узагальненої жорданової нормальною формою матриці. Метою цього параграфа є доказ існування узагальненої жорданової нормальної форми і отримання алгоритму побудови такої форми.

Теорема 9. Для будь-якої квадратної матріцинад полем дійсних чисел існує узагальнена жорданова нормальна форма. Вона визначена однозначно з точністю до порядку проходження "діагональних" клітин.

Якщо характеристичний поліном матриці має лише дійсні корені, то існує над полем жорданова нормальна форма матриці. Вона буде шуканої. Тому будемо розглядати випадок, коли характеристичний поліном матриці має недійсні коріння. Доказу нашої теореми для цього випадку предпошлем кілька лем, помітивши попередньо, що над полем існує жорданова нормальна форма матриці. Як і раніше, через будемо позначати кількість клітин Жордана. що стоять на "діагоналі" матриці.

Доведення. За формулою (*) § 4

Отже, нам досить показати, що - натуральне. Неважко переконатися, що і, отже,.