Поліноміальна функція вікіпедія

f (x) = a n x n + a n # X2212; 1 x n # X2212; 1 + # X22EF; + A 2 x 2 + a 1 x + a 0 = # X2211; i = 0 n a i x i x ^ + a_x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + a _ = \ sum _ ^ a_x ^>.

де n # X2208; N>. a n. a n # X2212; 1. # X2026 ;. a 2. a 1. a 0 # X2208; R, a _, \ ldots, a_, a_, a_ \ in \ mathbb> і a n # X2260; 0 \ neq 0>. Спеціальним випадком цілої раціональної функції є функція f (x) = 0. всі коефіцієнти якої дорівнюють нулю. Ціла раціональна функція являє собою лінійну комбінацію декількох статечних функцій і (поряд з дрібно-раціональної функцією) є окремим випадком раціональних функцій. Найбільш простими представниками цілої раціональної функції є константная. лінійна і квадратична функції.

Основні поняття [| ]

Термінологія [| ]

Терм в запису полиномиальной функції є поліномом від однієї змінної. Натуральне число n (найбільший показник ступеня змінної x) визначає ступінь поліноміальної функції. Дійсні числа a n. # X2026 ;. a 2. a 1. a 0, \ ldots, a_, a_, a_> називаються коефіцієнтами полиномиальной функції. При цьому число a n> часто називають старшим коефіцієнтом, а число a 0> - вільним коефіцієнтом.

Спеціальні випадки [| ]

Приклади [| ]

Основні властивості [| ]

Область визначення, область значень, межі [| ]

Поліноміальна функція над полем дійсних чисел визначена всюди і є безперервною на всій своїй області визначення. Її безліч значень також є підмножиною множини дійсних чисел. При парному n безліч значень буде, в залежності від знака старшого коефіцієнта a n>. обмежена зверху або знизу (див. також таблицю).

Межа полиномиальной функції на нескінченності x # X2192; # X00B1; # X221E; завжди існує, а його конкретне значення залежить від парності ступеня n і знака при старшому коефіцієнті a n>. При цьому графік полиномиальной функції поводиться точно також, як і графік степеневої функції g (x) = a n x n x ^>:

Поліноміальна функція диференційована в усій своїй області визначення. Її похідна легко знаходиться за допомогою елементарних правил диференціювання. Так, похідна функції f (x) = 2 x 3 # X2212; 4 x 2 + 5 x # X2212; 1 -4x ^ + 5x-1> обчислюється таким чином:

f # X2032; (X) = (2 x 3 # X2212; 4 x 2 + 5 x # X2212; 1) # X2032; = (2 x 3) # X2032; + ( # X2212; 4 x 2) # X2032; + (5 x) # X2032; + ( # X2212; 1) # X2032; = 2 # X22C5; 3 x 2 # X2212; 4 # X22C5; 2 x + 5 # X22C5; 1 x 0 # X2212; 1 # X22C5; 0 = 6 x 2 # X2212; 8 x + 5 f '(x) = (2x ^ -4x ^ + 5x-1)' \\ = (2x ^) '+ (- 4x ^)' + (5x) '+ (- 1)' \\ = 2 \ cdot 3x ^ -4 \ cdot 2x + 5 \ cdot 1x ^ -1 \ cdot 0 \\ = 6x ^ -8x + 5 \ end >>

Поліноміальна функція також і інтегрована в усій своїй області визначення. Її первісна також легко знаходиться за допомогою елементарних правил інтегрування. Наприклад, первісна тієї ж функції f (x). що і в прикладі вище, обчислюється таким чином:

Неважко помітити, що похідна і первобразная полиномиальной функції f (x) ступеня n також самі є поліноміальними. При цьому функція f # X2032; (X) має ступінь n # X2212; 1 і функція F (x) - ступінь n + 1 (за винятком тривіального випадку, коли f (x) = 0).

Особливі точки полиномиальной функції [| ]

Обчислення нулів функції [| ]

Нулі полиномиальной функції збігаються з корінням многочлена. присутнього в її рівнянні. Таким чином, для знаходження нулів необхідно вирішити рівняння f (x) = 0. Метод рішення багато в чому залежить від конкретного рівняння функції.

Якщо функція f (x) = a n x n + # X22EF; + A 2 x 2 + a 1 x + a 0 x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + a_> записана в факторізірованном вигляді f (x) = a n # X22C5; (x # X2212; x 1) k 1 # X22C5; (x # X2212; x 2) k 2 # X22EF; (x # X2212; x m) k m \ cdot (x-x _) ^> \ cdot (x-x _) ^> \ dotsb (x-x _) ^ >>. де кожен із чинників вдає із себе лінійний двочлен. то дійсні числа x 1>. x 2>. ..., x m> є нулями функції f (x). а натуральні числа k 1>. k 2>. ..., k m> показують кратність відповідних нулів цієї функції. При цьому виконується умова: k 1 + k 2 + # X22EF; + K m # X2264; n + k _ + \ dotsb + k_ \ leq n>. Таким чином, ступінь n функції f (x) визначає максимально можливе число її нулів над полем дійсних чисел. У разі узагальнення полиномиальной функції на полі комплексних чисел. відповідно до основною теоремою алгебри. буде виконуватися рівність: k 1 + k 2 + # X22EF; + K m = n + k _ + \ dotsb + k_ = n>.

Так, наприклад, поліноміальна функція f (x) = # X2212; 0. 01 # X22C5; x 3 # X22C5; (x # X2212; 2) # X22C5; (X + 3) 2 # X22C5; (X 2 + 1) 01 \ cdot x ^ \ cdot (x-2) \ cdot (x + 3) ^ \ cdot (x ^ + 1)> має три нуля, а саме: x 1 = 0 = 0> ( кратності 3), x 2 = 2 = 2> (кратності 1) і x 3 = # X2212; 3 = -3> (кратності 2). Квадратний двочлен x 2 + 1 + 1 »не має дійсних коренів, тому не може бути далі факторізірован на лінійні множники.

Загалом, для знаходження нулів полиномиальной функції ступеня n = 1 і n = 2 використовуються методи, що застосовуються для вирішення відповідно лінійних і квадратних рівнянь. Для знаходження нулів полиномиальной функції ступеня n # X2265; 3 там, де це можливо, можуть бути використані різні спеціальні методи розв'язання алгебраїчних рівнянь вищих ступенів (особливо це стосується біквадратних і статечних рівнянь). У більш загальних випадках застосовуються або такі універсальні методи як ділення многочленів або схема Горнера. дозволяють, однак, знайти лише цілочисельні (точні) рішення, або використовуються чисельні методи (наприклад, метод Ньютона) для знаходження всіх (але лише наближених) рішень.

Методи знаходження цілочисельних коренів многочлена засновані на слідстві з теореми Безу. Зокрема, для факторизації полиномиальной функції f (x) = a n x n + # X22EF; + A 2 x 2 + a 1 x + a 0 x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + a_> з цілими коефіцієнтами спочатку серед всіх дільників вільного коефіцієнта a 0> підбирається один будь-який корінь x 0>. тобто таке ціле число, для якого справедливо: f (x 0) = 0) = 0>. Потім шляхом ділення стовпчиком або за допомогою схеми Горнера многочлена f (x) на двочлен x # X2212; x 0> проводиться факторизация вихідного многочлена до виду f (x) = (x # X2212; x 0) # X22C5; g (x)) \ cdot g (x)>. де g (x) - многочлен ступеня n # X2212; 1. Таким чином, ступінь вихідної функції, а значить, і її складність, зменшується. Знаходження нулів функції f (x) зводиться до знаходження нулів функції g (x).

Так, наприклад, для знаходження нулів функції f (x) = x 3 # X2212; 12 x 2 + 5 x + 150 -12x ^ + 5x + 150> (див. Приклад) з цілими коефіцієнтами спочатку «вгадується» один корінь (число 5 знаходиться серед дільників числа 150), а потім вихідний многочлен f (x) ділиться на двочлен x # X2212; 5. Подальше перебування інших нулів функції f (x) зводиться до знаходження нулів результуючої функції g (x) = x 2 # X2212; 7 x # X2212; 30 -7x-30>. які легко можна знайти, вирішивши відповідне квадратне рівняння.