Показовий (експонентний) закон розподілу

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Безперервна випадкова величина X має показовий (експонентний) закон розподілу. якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де - параметр даного розподілу.

Функція розподілу F (x) випадкової величини X, розподіленої по показовому закону, знаходиться за формулою

Найважливіші числові характеристики показового розподілу визначаються рівностями:

Для показового закону розподілу ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, що належить інтервалу (a, b), визначається формулою

Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса) відіграє виняткову роль в теорії ймовірностей. Головна особливість закону Гаусса полягає в тому, що він є граничним законом. до якого наближаються, при певних умовах, інші закони розподілу. Нормальний закон розподілу найбільш часто зустрічається на практиці.

Безперервна випадкова величина X має нормальний закон розподілу (закон Гаусса) з параметрами і. якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Криву нормального закону розподілу називають нормальної кривої або кривої Гаусса.

Нормальна крива зображена на рис. 9.

Той факт, що випадкова величина X розподілена за нормальним законом з параметрами. коротко записують так:.

Математичне сподівання випадкової величини X, розподіленої за нормальним законом, так само параметру цього закону, т. Е.. а дисперсія - параметру. т. е..

Нормальний закон розподілу випадкової величини з параметрами і. т. е. випадкової величини називається стандартним або нормованим.

Щільність стандартної випадкової величини X має вигляд

і називається функцією Гаусса.

Ймовірність влучення в інтервал (a, b) випадкової величини X, підпорядкованої нормальному закону, визначається формулою

де функція називається функцією Лапласа (або інтегралом ймовірності). Цю функцію називають також функцією помилок.

Функція Лапласа має такі властивості:

1.. т. е. функція - непарна;

Таблицю значень функції Лапласа можна знайти в додатку 1.

Ймовірність влучення випадкової величини в інтервал. симетричний щодо центру розсіювання. знаходиться за формулою

Зокрема, . т. е. практично достовірно, що випадкова величина приймає свої значення в інтервалі. Це твердження називається "правилом трьох сигм".

Приклад 1. 30% виробів, що випускаються даним підприємством, потребує додаткової регулюванню. Навмання відібрано 200 виробів. Знайти середнє значення і дисперсію випадкової величини X - числа виробів у вибірці, які потребують регулювання.

Рішення. Випадкова величина X має біноміальний розподіл. Тут n = 200, p = 0,3, q = 0,7. Використовуючи формули (10), знаходимо:. .

Рішення. За одну хвилину АТС в середньому отримує викликів. Вважаючи, що випадкове число X викликів, які надійшли на АТС за одну хвилину, підкоряється закону Пуассона, по формулі (11) знайдемо шукану ймовірність.

Приклад 3. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що число влучень при 200 пострілах складе не менше 5 і не більше 10?

Рішення. Нехай випадкова величина X - число влучень в ціль. Так як ймовірність p = 0,01 дуже мала, а число пострілів (дослідів) досить велике, то шукану ймовірність будемо знаходити, використовуючи формулу Пуассона (див. (11)). По теоремі додавання ймовірностей. Враховуючи що . . отримаємо.

Приклад 4. Потяги метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хв. Пасажир виходить на платформу в випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що чекати пасажиру доведеться не більше півхвилини? Знайти математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X - часу очікування поїзда.

Рішення. Випадкова величина X - час очікування поїзда - на часовому відрізку [0, 2] має рівномірний закон розподілу (див. (12)). Тоді ймовірність того, що пасажирові доведеться чекати не більше півхвилини

За формулами (13) знайдемо хв. .

Приклад 5. Випадкова величина T - час роботи радіолампи - має показовий розподіл. Визначити ймовірність того, що час роботи лампи буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи радіолампи 400 годин.

Рішення. За умовою завдання математичне сподівання випадкової величини T одно 400 годин, отже,. (Див. (15)).

Тоді з урахуванням формули (14) шукана ймовірність.

Приклад 6. Випадкові помилки виміру деталі підпорядковані нормальному закону з параметром мм. Знайти ймовірність того, що вимірювання деталі вироблено з помилкою, що не перевищує по модулю 25 мм.

Рішення. Скористаємося формулою (17). У нашому випадку . . отже,

Приклад 7. Нехай X - випадкова величина, підпорядкована нормальному закону з математичним очікуванням і середнім квадратичним відхиленням. Яка ймовірність того, що при чотирьох випробуваннях ця випадкова величина потрапить хоча б один раз в інтервал (1,2)?

Рішення. Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (1,2) при одному випробуванні. Відповідно до формули (16) маємо:

Тоді ймовірність того, що випадкова величина не потрапить в інтервал (1,2) при одному випробуванні дорівнює 1-0,3811 = 0,6189, а при чотирьох випробуваннях. Значить, шукана ймовірність.