Показовий (експонентний) закон розподілу, його визначення, властивості і приклади
30. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі. приклади
Повторними незалежними випробуваннями називають випробування, що відповідають таким умовам:
1) кількість n випробувань звичайно;
2) ймовірність здійснення випадкової події А в кожному з випробувань постійна:
Приклади повторних випробувань:
1) багаторазове витяг з урни одного кулі за умови, що вийнятий кулю після реєстрації його кольору кладеться назад в урну;
2) повторення одним стрільцем пострілів по одній і тій же мішені за умови, що ймовірність вдалого попадання при кожному пострілі приймається однаковою (роль пристрілки не враховується).
Якщо ймовірність настання події в кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що подія настане рівно раз в незалежних випробуваннях, дорівнює:. де.
Приклад. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,7 і не залежить від номера пострілу. Знайти ймовірність того, що при 5 пострілах буде рівно 3 попадання в ціль.
Рішення. Підставляємо в формулу Бернуллі дані завдання і отримуємо:
31. Поняття про центральну граничну теорему. Локальна і інтегральна теореми Муавра-Лапласа, умови їх застосовності. Приклади.
Центральна гранична теорема являє собою групу теорем. присвячених встановленню умов, при яких виникає нормальний закон розподілу. Серед цих теорем найважливіше місце належить теоремі Ляпунова.
Закон розподілу суми незалежних випадкових величин (i = 1,2, \ ldots, n) "align = bottom width = 147 height = 18 border = 0> наближається до нормального закону розподілу при необмеженому збільшенні. Якщо виконуються наступні умови:
всі величини мають кінцеві математичні очікування і дисперсії:
жодна з величин за значенням різко не відрізняється від інших:
При вирішенні багатьох практичних завдань використовують наступне формулювання теореми Ляпунова для середньої арифметичної спостерігалися значень випадкової величини. яка також є випадковою величиною (при цьому дотримуються перераховані дві умови):
якщо випадкова велічінаімеет кінцеві математичне ожіданіяі дисперсію, то розподіл середньої
арифметичної, обчисленої по спостерігався значенням випадкової величини внезавісимості випробуваннях, пріпрібліжается до нормального закону з математичним ожіданіемі дисперсією, тобто
Тому ймовірність того, що укладена в інтервалі. можна обчислити за формулою
Використовуючи функцію Лапласа, можна записати в зручному для розрахунків вигляді:
Слід зазначити, що центральна гранична теорема справедлива не тільки для безперервних, але і для дискретних випадкових величин. Практичне значення теореми Ляпунова величезна. Досвід показує, що закон розподілу суми незалежних випадкових величин, порівнянних за своїм розсіюванню, досить швидко наближається до нормального. Уже при числі доданків порядку десяти закон розподілу суми можна замінити на нормальний.
32. * Наслідки з інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Приклад и.
Следствіе.Еслі вероятностьнаступленія собитіяв кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то при досить великому чісленезавісімих випробувань ймовірність того. що:
а) число т наступів собитіяотлічается від проізведеніяне більш, ніж на величину (по абсолютній величині), тобто. ;
б) частостьсобитіязаключена в межах отдо (включно), тобто
в) частостьсобитіяотлічается від його вероятностіне більш, ніж на величину (по абсолютній величині), тобто
Приклад. Імовірність настання події А в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює. Знайдіть ймовірність того, що подія А відбудеться: а) 710 разів; б) від 710 до 740 разів.
а) Дано. Так як . то скориставшись формулами 24-26, парністю функції і таблицею 1 додатка [4, с.553-554], отримуємо:
б) Дано. Так як . то скориставшись формулами 27-29, непарні функції і таблицею 2 додатка [4, с.555], отримуємо:
Відповідь: а) 0,0236; б) 0,7993.
33. Асимптотична формула Пуассона і умови її застосування. Приклади.
Застосування формули Бернуллі при великих значеннях призводить до твору дуже великих і дуже малих чисел (і), що погано з обчислювальної точки зору, тому доводиться користуватися наближеними, асимптотическими формулами.
Розглянемо ситуацію, в якій число випробувань в схемі Бернуллі необмежено збільшується, а ймовірність настання події в кожному випробуванні прагне до нуля таким чином, що твір залишається величиною постійною, яку позначимо. У цьому випадку має місце співвідношення:
Доведення. За формулою Бернуллі
Скористаємося тим, що за умовою або й Формула Бернуллі приймає вигляд:
Так як і фіксовані, а прямує до нескінченності, то множники; ...; і прагнуть до одиниці, а множник прагне к. то
Отриманий вираз називається пуассоновским наближенням формули Бернуллі. Ця формула дає хороше наближення при досить великому і малому (наприклад, і).
Імовірність події, що полягає в тому, що з'явиться не більше раз, очевидно, обчислюється за формулою
Приклад. На підприємстві виготовлено та відправлено замовнику 100000 пляшок пива. Імовірність того, що пляшка може виявитися бітою. дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що в відправленої партії буде рівно три і рівно п'ять битих пляшок.
Рішення. Дано: n = 100000, p = 0,0001, m = 3 (m = 5).
Скористаємося формулою Пуассона
34. Лемма Чебишева. приклади
При вивченні теорії ймовірностей доводиться використовувати поняття випадкової події і випадкової величини. При цьому передбачити заздалегідь результат випробування, в якому може з'явитися або не з'являться ту чи іншу подію або якесь певне значення випадкової величини, неможливо, так як результат випробування залежить від багатьох випадкових причин, що не піддаються обліку.
При вивченні результатів спостережень над реальними випадковими масовими явищами також мають місце деякі закономірності. Слід звернути увагу на те, що вони мають властивість стійкості. Суть цієї властивості полягає в тому, що конкретні особливості кожного окремого випадкового явища майже не позначаються на середньому результаті великої маси подібних явищ, а характеристики випадкових подій і випадкових величин, що спостерігаються в випробуваннях. при необмеженому збільшенні числа випробувань стають практично не випадковими.
Теореми закону великих чисел встановлюють залежність між випадковістю і необхідністю.
Теорема Чебишева: при досить великому числі незалежних випадкових величин Х1. Х2. Х3. Хn. дисперсія кожної з яких не перевищує одного і того ж постійного числа В, для довільного скільки завгодно малого числа справедливо нерівність
З теореми випливає, що середнє аріфметічес? Дещо випадкових величин при зростанні їх числа проявляє властивість стійкості, т. Е. Прагне по ймовірності до невипадковою величиною, якою є середнє арифметичне математичних очікувань цих величин, тобто ймовірність відхилення по абсолютній величині середнього арифметичного випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних очікувань менше ніж на при необмеженому зростанні n прагне до 1, тобто стає практично достовірною подією.
Розглянемо окремий випадок теореми Чебишева:
Нехай при n випробуваннях спостерігаються n значень випадкової величини X, що має математичне сподівання M (X) і дисперсію D (X). Отримані значення можна розглядати як випадкові величини Х1, Х2, Х3. Хn ,. Це слід розуміти так. Серія з п випробувань проводиться неодноразово. Тому в результаті i-го випробування, i = l, 2, 3. п, в каиввввждой серії випробувань з'явиться ту чи іншу значення випадкової величини X, не відоме заздалегідь. Отже, i-e значення xi випадкової величини, отримане в i-м випробуванні, змінюється випадковим чином, якщо переходити від однієї серії випробувань до іншої. Таким чином, кожне значення xi можна вважати випадковою величиною Xi.
Припустимо, що випробування задовольняють наступним вимогам:
1) випробування незалежні. Це означає, що результати Х1, Х2, Х3. Хn випробувань-незалежні випадкові величини;
2) випробування проводяться в однакових умовах-це означає, з точки зору теорії ймовірностей, що кожна з випадкових величин Х1, Х2, Х3. Хn має такий же закон розподілу, що і вихідна величина X, тому, MXi = MX і DXi = DX, i = 1, 2. п.
З огляду на вищевказані умови, отримаємо
Переходячи до межі, маємо
З останнього рівності випливає, що середнє арифметичне випадкової величини Х має властивість стійкості.
Теорема Чебишева має велике практичне застосування. Вона дозволяє, використовуючи середнє арифметичне, отримати уявлення про величину математичного очікування. і навпаки. Так, вимірюючи який-небудь параметр за допомогою приладу, що не дає систематичної похибки, можна отримати досить велику кількість результатів вимірювань, середнє арифметичне яких по теоремі Чебишева буде практично мало відрізнятися від істинного значення параметра.
Приклад. Нехай в результаті 100 незалежних випробувань отримані випадкові величини Х1. Х2. ..., Х100 з рівними математичними очікуваннями М (Х) = 10 і рівними дисперсіями D (X) = 1. Оцінити ймовірність того, що середнє арифметичне випадкових величин відхиляється по абсолютній величині від М (Х) менше ніж на 1/2.
Має місце окремий випадок теореми Чебишева. Застосовуючи відповідне нерівність для оцінки ймовірності, отримаємо: