Показова форма комплексного числа

У формулі, де x і y - дійсні числа, приймемо х = 0. Отримаємо формулу

яка називається формулою Ейлера.

Використовуючи формулу Ейлера можна будь-яке комплексне число z записати в показовій формі

де r - модуль комплексного числа, а j - його аргумент.

Якщо в цій формулі Ейлера замінити y на -y. тоді отримаємо.

щодо cosy. siny. Складемо і віднімемо рівняння, отримаємо

Звідси випливають формули

7.18. Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння n -ого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення неоднорідного рівняння, як було показано раніше (теорема 7.4). знаходиться як сума загального рішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного рівняння, т. е.

де - лінійно незалежні рішення однорідного рівняння;

- приватне рішення вихідного неоднорідного рівняння.

У загальному випадку лінійне однорідне диференціальне рівняння n -го порядку має вигляд

де - постійні величини.

Приватні рішення однорідного рівняння шукають у вигляді

Похідні цієї функції рівні

Підставляємо функцію і її похідні в однорідне рівняння

Ділимо це рівняння на, отримуємо рівняння

Дане рівняння називається характеристичним.

Характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням n-го ступеня щодо l. Будь-яке алгебраїчне рівняння n-го ступеня має в комплексній площині n коренів.

Розглянемо всі можливі випадки рішення однорідного диференціального рівняння в залежності від виду коренів його характеристичного рівняння.

Випадок 1. Всі коріння характеристичного рівняння дійсні різні.

В цьому випадку диференціальне рівняння має n лінійно незалежних приватних рішень

Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд

де - довільні постійні.

Приклад 7. 22. Знайти спільне рішення рівняння.

Складаємо характеристичне рівняння

Знаходимо його корені. Маємо два приватних рішення,. Записуємо спільне рішення

Випадок 2. Характеристичне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, де.

Тоді цим коріння відповідає два лінійно незалежних комплексно-сполучених рішення

З цих рішень складають два лінійно незалежних дійсних рішення

Загальне рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

Приклад 7. 23. Знайти спільне рішення рівняння.

Складаємо характеристичне рівняння

Знаходимо його коріння, де. Рівняння має два приватних лінійно незалежних рішення

Записуємо спільне рішення

Випадок 3. Характеристичне рівняння має дійсний корінь l кратності k.

Тоді йому відповідає k лінійно незалежних приватних рішення однорідного рівняння, які мають вигляд

Загальне рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

Приклад 7. 24. Знайти спільне рішення рівняння.

Складаємо характеристичне рівняння

Воно має дійсний корінь кратності k = 2. Йому відповідає два лінійно незалежних приватні рішення.

Випадок 4. Характеристичне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів кратності k.

Тоді цим коріння відповідає 2k лінійно незалежних приватних рішень однорідного рівняння, які мають вигляд

Загальне рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

Приклад 7. 25. Знайти спільне рішення рівняння

Складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його коріння.

Û Þ Þ

Рівняння має два корені кратності k = 2.

Загальне рішення рівняння має вигляд

7.19. Приватне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння n -ого порядку з постійними коефіцієнтами

Вид приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння

залежить від виду правої частини цього рівняння (функції) і від величин коренів характеристичного рівняння.

Розглянемо знаходження приватного рішення для двох видів функції.

Випадок 1. Права частина рівняння

де g - дійсне значення, - многочлен m-го ступеня.

В цьому випадку приватне рішення рівняння шукається у вигляді

де - многочлен m-го ступеня,

s - ступінь кратності кореня характеристичного рівняння.

Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то s = 0.

Приклад 7. 25. Розв'язати рівняння.

Характеристичне рівняння однорідного рівняння має один корінь кратності 2. Тому спільне рішення однорідного рівняння має вигляд

Знаходимо частинний розв'язок неоднорідного рівняння. Права частина рівняння, т. Е.. Це значення не є коренем характеристичного рівняння (отже, його кратність s = 0). В цьому випадку приватне рішення шукається у вигляді. Знаходимо похідні і підставляємо їх у вихідне рівняння

Ділимо це рівняння на, маємо. Звідси.

Записуємо приватне рішення і спільне рішення

Приклад 7. 26. Розв'язати рівняння.

Загальне рішення неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного рівняння.

Знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння. Його характеристичне рівняння має коріння. Загальне рішення .

Знайдемо приватне рішення неоднорідного рівняння. Праву частину цього рівняння можна представити у вигляді

де показник ступеня g в функції дорівнює g = 0. Це значення збігається з коренем характеристичного рівняння, т. е. є його коренем кратності s = 1. Тому приватне рішення потрібно шукати у вигляді

Знаходимо похідні цієї функції і підставляємо їх у вихідне рівняння. отримуємо

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х (і) в лівій і правій частинах рівняння

Отримуємо систему для знаходження коефіцієнтів A і B

Звідси,. Записуємо приватне рішення

Загальне рішення вихідного диференціального рівняння

Випадок 2. Права частина неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

де g і w - дійсні значення,

і - многочлени ступені і відповідно.

В цьому випадку приватне рішення диференціального рівняння шукається у вигляді

s - кратність кореня характеристичного рівняння, де збігається з числом g в показнику ступеня в функції правої частини рівняння. Якщо g в не збігається з, то s = 0.

Приклад 7. 27. Розв'язати рівняння.

Характеристичне рівняння має комплексно-зв'язані коріння. Тому спільне рішення однорідного рівняння має вигляд

Шукаємо приватне рішення неоднорідного рівняння. Права частина рівняння, т. Е. G = 0. Значення g = 0 не збігається з реальною частиною коренів характеристичного рівняння, тому s = 0. Приватне рішення необхідно шукати у вигляді

де А і В - постійні величини.

Знаходимо похідні, підставляємо їх у вихідне неоднорідне рівняння

Прирівнюємо коефіцієнти при sinx і cosx в лівій і правій частинах цього рівняння. Отримуємо систему для знаходження постійних А і В і вирішуємо її.

Û Û Þ ,.

Записуємо приватне рішення

і спільне рішення