Подання синусоїдальних величин за допомогою векторів і комплексних чисел (лекція n 3)

Змінний струм довгий час не знаходив практичного застосування. Це було пов'язано з тим, що перші генератори електричної енергії виробляли постійний струм, який цілком задовольняв технологічних процесів електрохімії, а двигуни постійного струму мають гарні регулювальними характеристиками. Однак у міру розвитку виробництва постійний струм все менше став задовольняти зростаючим вимогам економічного електропостачання. Змінний струм дав можливість ефективного дроблення електричної енергії та зміни величини напруги за допомогою трансформаторів. З'явилася можливість виробництва електроенергії на великих електростанціях з подальшим економічним її розподілом споживачам, збільшився радіус електропостачання.

В даний час центральне виробництво та розподілення електричної енергії здійснюється в основному на змінному струмі. Ланцюги до мінливих - змінними - струмами в порівнянні з ланцюгами постійного струму мають ряд особливостей. Змінні струми і напруги викликають змінні електричні і магнітні поля. В результаті зміни цих полів в ланцюгах виникають явища самоіндукції і взаємної індукції, які надають найбільш істотний вплив на процеси, що протікають в ланцюгах, ускладнюючи їх аналіз.

Змінним струмом (напругою, ЕРС і т.д.) називається струм (напруга, ЕРС і т.д.), що змінюється в часі. Токи, значення яких повторюються через рівні проміжки часу в одній і тій же послідовності, називаються періодичними, а найменший проміжок часу, через який ці повторення спостерігаються, - періодом Т. Для періодичного струму маємо

Величина, зворотна періоду, є частота, яка вимірюється в герцах (Гц):

Діапазон частот, що застосовуються в техніці: від наднизьких частот (0.01 ¸ 10 Гц - в системах автоматичного регулювання, в аналоговій обчислювальній техніці) - до надвисоких (3000 ¸ 300000 МГц - міліметрові хвилі: радіолокація, радіоастрономія). В Україні промислова частота f = 50Гц.

Миттєве значення змінної величини є функція часу. Її прийнято позначати малої буквою:

i - миттєве значення струму;

u - миттєве значення напруги;

е - миттєве значення ЕРС;

р - миттєве значення потужності.

Найбільше миттєве значення змінної величини за період називається амплітудою (її прийнято позначати великою літерою з індексом m).

- амплітуда струму;

- амплітуда напруги;

- амплітуда ЕРС.

Чинне значення змінного струму

Значення періодичного струму, рівне такому значенню постійного струму, який за час одного періоду зробить той же самий тепловий або електродинамічний ефект, що і періодичний струм, називають діючим значенням періодичного струму:

Аналогічно визначаються діючі значення ЕРС і напруги.

Синусоидально змінюється струм

З усіх можливих форм періодичних струмів найбільшого поширення набув синусоїдальний струм. У порівнянні з іншими видами струму синусоїдальний струм має ту перевагу, що дозволяє в загальному випадку найбільш економічно здійснювати виробництво, передачу, розподіл і використання електричної енергії. Тільки при використанні синусоїдального струму вдається зберегти незмінними форми кривих напруг і струмів на всіх ділянках складної лінійної ланцюга. Теорія синусоїдального струму є ключем до розуміння теорії інших ланцюгів.

Зображення синусоїдальних ЕРС, напруг

і струмів на площині декартових координат

Синусоїдальні струми і напруги можна зобразити графічно, записати за допомогою рівнянь з тригонометричними функціями, представити у вигляді векторів на декартовій площині або комплексними числами.

Наведеним на рис. 1, 2 графіками двох синусоїдальних ЕРС е1 і е2 відповідають рівняння:

.

Значення аргументів синусоїдальних функцій і називаються фазами синусоид, а значення фази в початковий момент часу (t = 0): і - початковою фазою ().

Величину, що характеризує швидкість зміни фазового кута, називають кутовий частотою. Так як фазовий кут синусоїди за час одного періоду Т змінюється на рад., То кутова частота є, де f- частота.

При спільному розгляді двох синусоїдальних величин однієї частоти різниця їх фазових кутів, рівну різниці початкових фаз, називають кутом зсуву фаз.

.

Векторне зображення синусоидально

На декартовій площині з початку координат проводять вектори, рівні по модулю амплітудним значенням синусоїдальних величин, і обертають ці вектори проти годинникової стрілки (в ТОЕ даний напрямок прийнято за позитивне) з кутовою частотою, рівній w. Фазовий кут при обертанні відраховується від позитивної півосі абсцис. Проекції обертових векторів на вісь ординат рівні миттєвим значенням ЕРС е1 і е2 (рис. 3). Сукупність векторів, що зображують синусоидально змінюються ЕРС, напруги та струми, називають векторними діаграмами. При побудові векторних діаграм вектори зручно розташовувати для початкового моменту часу (t = 0), що випливає з рівності кутових частот синусоїдальних величин і еквівалентно тому, що система декартових координат сама обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю w. Таким чином, в цій системі координат вектори нерухомі (рис. 4). Векторні діаграми знайшли широке застосування при аналізі ланцюгів синусоїдального струму. Їх застосування робить розрахунок ланцюга більш наочним і простим. Це спрощення полягає в тому, що додавання і віднімання миттєвих значень величин можна замінити складанням і відніманням відповідних векторів.

Нехай, наприклад, в точці розгалуження ланцюга (рис. 5) загальний струм дорівнює сумі струмів і двох гілок:

.

Кожен з цих струмів сінусоідален і може бути представлений рівнянням

і.

Результуючий струм також буде сінусоідален:

.

Визначення амплітуди і початкової фази цього струму шляхом відповідних геодезичних перетворень виходить досить громіздким і мало наочним, особливо, якщо підсумовується велике число синусоїдальних величин. Значно простіше це здійснюється за допомогою векторної діаграми.

На рис. 6 зображені початкові положення векторів струмів, проекції яких на вісь ординат дають миттєві значення струмів для t = 0. При обертанні цих векторів з однаковою кутовою швидкістю w їх взаємне розташування не змінюється, і кут зсуву фаз між ними залишається рівним.

Так як алгебраїчна сума проекцій векторів на вісь ординат дорівнює миттєвому значенню загального струму, вектор загального струму дорівнює геометричній сумі векторів струмів:

.

Побудова векторної діаграми в масштабі дозволяє визначити значення і з діаграми, після чого може бути записано рішення для миттєвого значення шляхом формального обліку кутовий частоти:.

Подання синусоїдальних ЕРС, напруг

і струмів комплексними числами

Геометричні операції з векторами можна замінити операціями алгебри з комплексними числами, що істотно підвищує точність одержуваних результатів.

Кожному вектору на комплексній площині відповідає певна комплексне число, яке може бути записано в:

показовою

тригонометричної або

алгебраїчної - формах.

Наприклад, ЕРС, зображеної на рис. 7 обертовим вектором, відповідає комплексне число

.

Фазовий кут визначається за проекціями вектора на осі "+1" і "+ j" системи координат, як

.

Відповідно до тригонометричної формою записи уявна складова комплексного числа визначає миттєве значення синусоидально змінюється ЕРС:

Комплексне число зручно представити у вигляді добутку двох комплексних чисел: