Підпростір, його базис і розмірність

Підпростір, його базис і розмірність.

Нехай L - лінійний простір над полем P і A - підмножина з L. Якщо A саме становить лінійний простір над полем P щодо тих же операцій, що і L. то A називають подпространством простору L.

Згідно з визначенням лінійного простору, щоб A було подпространством треба перевірити здійсненність в A операцій:

і перевірити, що операції в A підпорядковані восьми аксіом. Однак останнім буде зайвим (в силу того, що ці аксіоми виконуються в L) тобто справедлива наступна

Теорема. Нехай L лінійний простір над полем P і. Безліч A тоді і тільки тоді є подпространством L. коли виконуються наступні вимоги:

Затвердження. Якщо L-n-мірному лінійний простір і A його підпростір, то A також конечномерное лінійний простір і його розмірність не перевищує n.

Приклад 1. Чи є подпространством простору векторів-відрізків V2 безліч S всіх векторів площини, кожен з яких лежить на одній з осей координат 0x або 0y?

Рішення. Нехай, і,. Тоді. Отже. S не є подпространством.

Приклад 2. Чи є лінійним подпространством лінійного простору V2 векторів-відрізків площині безліч S всіх векторів площини, початки і кінці яких лежать на даній прямій l цій площині?

Е слі вектор помножити на дійсне число k. то отримаємо вектор, який також належить S. Якщо і - два вектора з S, то (за правилом додавання векторів на прямій). Отже, S є подпространством.

Приклад 3. Чи є лінійним подпространством лінійного простору V2 безліч A всіх векторів площини, кінці яких лежать на даній прямій l. (Припустити, що початок будь-якого вектора збігається з початком координат)?

У разі, коли пряма l не проходить через початок координат безліч А лінійним подпространством простору V2 не є. тому .

У разі, коли пряма l проходить через початок координат, безліч А є лінійним подпространством простору V2, тому що і при множенні будь-якого вектора на дійсне число α з поля Р отримаємо. Таким чином, вимоги лінійного простору для безлічі А виконані.

Приклад 4. Нехай дана система векторів з лінійного простору L над полем P. Довести. що безліч всіляких лінійних комбінацій з коефіцієнтами з P є подпространством L (це підпростір A називають подпространством, породженим системою векторів або лінійної оболочкойетой системи векторів. і позначають так: або).

Рішення. Дійсно, так як, то для будь-яких елементів x, yA маємо:,, де,. тоді

Перевіримо здійсненність другої умови теореми. Якщо x - будь-який вектор з A і t - будь-яке число з P. то. Оскільки і,, то,, тому. Таким чином, відповідно до теореми. множина A - підпростір лінійного простору L.

Для скінченновимірних лінійних просторів справедливо і зворотне твердження.

Теорема. Будь-яке підпростір А лінійного простору L над полем є лінійною оболонкою деякої системи векторів.

При вирішенні задачі знаходження базису і розмірності лінійної оболонки використовують наступну теорему.

Теорема. Базис лінійної оболонки збігається з базисом системи векторів. Розмірність лінійної оболонки збігається з рангом системи векторів.

Приклад 4. Знайти базис і розмірність підпростору лінійного простору Р3 [x]. якщо,,,.

Рішення. Відомо. що вектори і їх координатні рядки (стовпці) мають однакові властивості (щодо лінійної залежності). Складаємо матрицю A = з координатних стовпців векторів в базисі.

Знайдемо ранг матриці A.

Отже, ранг r (A) = 3. Отже, ранг системи векторів дорівнює 3. Значить, розмірність підпростору S дорівнює 3, а його базис складається з трьох векторів (тому що в базисний мінор входять координати тільки цих векторів).

Приклад 5. Довести, що безліч H векторів арифметичного простору, у яких перша і остання координати рівні 0, становить лінійне підпростір. Знайти його базис і розмірність.

Тоді, і. Отже, для будь-яких. Якщо то . Таким чином, відповідно до теореми про лінійному підпросторі, безліч H є лінійним подпространством простору. Знайдемо базис H. Розглянемо наступні вектори з H.,,. Ця система векторів лінійно незалежна. Дійсно, нехай.

Можна переконатися, що система лінійно залежна при будь-якому векторі x з H. Цим доведено, що максимальна лінійно незалежна система векторів підпростору H. тобто - базис в H і dimH = n2.