Підготовка школярів до ЄДІ і ОГЕ (ДПА) в навчальному центрі резольвента (довідник з математики - 1

розміщення

Розглянемо наступну задачу.

Завдання. 9 карток пронумеровані числами 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. З цих карток чотири навмання взятих картки викладаємо в ряд. Скільки при цьому можна отримати різних чотиризначних чисел?

Рішення .Спочатку зліва направо пронумеруємо місця в ряду, куди викладаємо картки: перше місце, друге, третє, четверте.

На перше місце можна покласти одну з 9 карток. Для цього є 9 способів. У кожному з цих 9 способів на друге місце можна покласти одну з решти 8 карток. Таким чином, існує

способу, щоб покласти картки на перше і друге місця. У кожному з цих 72 способів на третє місце можна покласти одну з решти 7 карток. Отже, існує

способу, щоб покласти картки на перше, друге і третє місця. У кожному з цих 504 способовна четверте місце можна покласти одну з решти 6 карток. Звідси випливає, що існує

різні способи, щоб викласти в ряд 4 картки з набору, що складається з 9 пронумерованих карток. Таким чином, при викладанні карток можна отримати 3024 різних чотиризначних числа.

При вирішенні завдання ми провели підрахунок числа способів розкладання карток, який є окремим випадком загального методу підрахунку числа розміщень і полягає в наступному.

Визначення 1. Розглянемо безліч, що містить n елементів, і все його впорядковані підмножини. містять k елементів. Кожне з цих підмножин називають розміщенням з n елементів по k елементів.

Якщо позначити символом число розміщень з n елементів по k елементів. то буде справедлива формула:

Відповідно до визначення факторіала. формулу (1) можна також записати у вигляді:

У задачі безліччю з n елементів є початковий набір з 9 пронумерованих карток, а упорядкованим підмножиною з k елементів - 4 картки, викладені в ряд.

Таким чином, при вирішенні завдання ми на приватному прикладі підрахували, чому дорівнює число розміщень з 9 елементів по 4 елементи, тобто число

Відповідно до формули (1),

що і було отримано в завданні.

Зауваження 1. Введені в даному розділі розміщення також називають розміщеннями без повторень.

Зауваження 2. З формул для числа перестановок і числа розміщень випливає формула

сенс якої полягає в наступному.

Затвердження. Розміщення з n елементів по n елементів є перестановкою з n елементів.

Визначення 2. Розглянемо безліч, що складається з n елементів. Кожне його підмножина, що містить k елементів, називають поєднанням з n елементів по k елементів.

Число сполучень з n елементів по k елементів позначається символом

Зауваження 3. Важливо відзначити, що, на відміну від визначення розміщень. розглянуті у визначенні сполучень підмножини. містять k елементів, не є впорядкованими. Тому, якщо в кожному підмножині, що містить k елементів (з визначення 2), зробити всілякі перестановки, кількість яких одно k. то ми отримаємо всі розміщення.

Таким чином, справедлива формула:

звідки випливає формула

На закінчення наведемо часто використовується рівність, також безпосередньо випливає з формули (2):

Зауваження 4. З розділом довідника «Сполучення» близько пов'язаний розділ «Біном Ньютона». де наведені і доведені властивості чисел поєднань.

З поняттями факторіала числа n і перестановок з n елементів можна познайомитися в розділі «Комбінаторика: факторіали і перестановки» нашого довідника.

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ (ДПА) з математики.

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ (ДПА) з математики, фізики або української мови на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить