Первісна та невизначений інтеграл - студопедія

Ми починаємо вивчати інтеграли, які широко використовуються в багатьох областях техніки. Вивчення почнемо з невизначеного інтеграла.

Первісна та невизначений інтеграл

Основним завданням диференціального обчислення є диференціювання даних функцій, іншими словами, завдання знаходження швидкості зміни даної функції. Численні питання науки і техніки приводять до постановки оберненої задачі: по заданій функції f (x) відновити таку функцію F (x), для якої f (x) була б похідною: F ¢ (x) = f (x).

Визначення. Функція F (x) називається первісною для f (x), якщо

F ¢ (x) = f (x) або dF (x) = f (x) dx.

2) f (x) = cosx, F (x) = sinx.

Легко бачити, що даної функції f (x) = 3x 2 відповідає не одна первісна, а безліч: х 3; х 3 + 1; х 3 - 1; х 3 + 5; х 3 - 100; х 3 + С.

Дійсно, (х 3) ¢ = 3x 2; (X 3 + 1) ¢ = 3x 2; (X 3 - 1) ¢ = 3x 2;. (X 3 + С) ¢ = 3x 2.

Взагалі, якщо F (x) - первісна даної функції f (x), то первісною функцією буде і функція F (x) + c, "СÎR, т.к .:

[F (x) + c] ¢ = F ¢ (x) = f (x).

Чи вичерпується безліч всіх первісних f (x) виразами виду F (x) + C або ж є первісні цієї функції, не отримані з F (x) + C ні при якому значенні C? Виявляється, вірне твердження: ніяких інших первісних функції f (x) немає. Іншими словами, якщо F1 (x) і F2 (x) - дві первісні для f (x), то F1 (x) = F2 (x) + С,

де С - деяка постійна.

Дійсно, тому що F1 (x) і F2 (x) - первісні для f (x), то

Розглянемо різницю при всіх х.

Нехай х0 - яке-небудь фіксоване значення аргументу,

х - довільне інше значення.

За формулою Лагранжа

де - деяке число між х0 і х. Так як:

У будь-якої чи функції f (x) є первісна?

Теорема. Якщо функція f (x) неперервна на якомусь проміжку, то вона має на ньому первісну (без доведення).

Визначення. Якщо F (x) - якась первісна для f (x), то вираз F (x) + С, де С - довільна стала, називається невизначеним інтегралом і позначається:. при цьому f (x) називається підінтегральної функцією, а вираз f (x) dx - підінтегральний вираз:

Дія знаходження невизначеного інтеграла, інакше, знаходження всіх первісних від даної функції, називається інтегруванням цієї функції. Очевидно, що операції диференціювання і інтегрування взаємно протилежні.

Додавання і віднімання, піднесення до степеня і добування кореня, множення і ділення дають приклади взаімообратних математичних операцій.

Зроблені один за одним, вони знищують результати один одного.

2) ln (l a) = a; l ln а = а; a> 0

Те ж для операцій диференціювання та інтегрування функцій

Правда, в останніх двох формулах з'являється постійне с, але ця обставина для багатьох питань не дуже істотно.

Таким чином. знаходження невизначеного інтеграла є знаходження всіх первісних від даної функції.