Перехід від зображення до функції часу

§ 8.47. Перехід від зображення до функції часу.

У § 8.45 вказувалося, що другим етапом розрахунку перехідних процесів за допомогою операторного методу є перехід від зображення до функції часу. Цю операцію можна здійснити різними шляхами.

Перший шлях полягає в застосуванні формул відповідності між функціями оператора і функціями часу t. Частина формул відповідності наведена в § 8.39. У науковій літературі є спеціальні дослідження, що містять велику кількість формул відповідності (1518), що охоплюють всі можливі практичні завдання. Формулами відповідності рекомендується користуватися в тому випадку, коли серед коренів рівняння є кілька однакових (кратні коріння).

Другий шлях полягає в застосуванні так званої формули розкладання. Формула розкладання в § 8.49 виведена, виходячи з пропозиції, що рівняння не має кратних коренів (при наявності кратних коренів формула розкладання записується інакше - див. § 8.50).

Третій шлях - безпосереднє застосування формули зворотного перетворення Лапласа з використанням теорії відрахувань (див. § 8.50).

Формулою розкладання широко користуються на практиці, і її прийнято розглядати як основну формулу для переходу від зображення до функції часу.

Розглянемо два приклади на застосування формул відповідності, а потім - після розгляду питання про розкладання складної дробу на прості - перейдемо до висновку формули розкладання.

Приклад 91. У схемі рис. 8.31, а струм джерела струму лінійно наростає в часі: (рис. 8.31, б); Визначити закон зміни в часі струму і через резистор R.

Рішення. Зображення струму одно (див. Співвідношення 12 § 8.39). Опір паралельно з'єднаних R, С

Зображення струму через

Згідно співвідношенню 8 § 8.39,

Приклад 92. У схемі рис. 8.31, в, де. Знайти а також значення i і при.

Рішення. Згідно співвідношенню 2 § 8.39, функції відповідає зображення Отже,

За співвідношенням 5 § Тому.