Освітній портал ТГУ 1

Формула (37.6) схожа на формулу (22.3). З порівняння цих формул випливає, що подібно до того, як похідна за часом від імпульсу дорівнює силі, що діє на матеріальну точку, похідна по часу від моменту імпульсу дорівнює моменту сили.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Нехай матеріальна точка m рухається вздовж пунктирною прямий на ріс.96. Оскільки рух прямолінійно, імпульс матеріальної точки змінюється тільки по модулю, причому

де f - модуль сили [в даному випадку f має такий же напрямок, як р (див. рис. 96), так що].

Плече t залишається незмінним. отже,

що узгоджується з формулою (37.6) (в даному випадку L змінюється тільки по модулю, причому збільшується, тому).

Приклад 2. Матеріальна точка маси m рухається по колу радіуса R (рис. 98).

Момент імпульсу матеріальної точки відносно центру кола Про дорівнює по модулю:

Вектор L перпендикулярний до площини кола, причому напрямок руху точки і вектор L утворюють правовінтовую систему.

Оскільки плече, рівне R, залишається постійним, момент імпульсу може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. При рівномірному русі матеріальної точки по колу момент імпульсу залишається постійним і за величиною і за напрямком. Легко здогадатися, що в цьому випадку момент сили, що діє на матеріальну точку, дорівнює нулю.

Приклад 3. Розглянемо рух матеріальної точки в центральному полі сил (див. § 26). Відповідно до (37.6) момент імпульсу матеріальної точки, взята відносно центру сил, повинен залишатися постійним по величині і напрямку (момент центральної сили відносно центру дорівнює нулю). Радіус-вектор r. проведений з центру сил в точку m. і вектор L перпендикулярні один до одного. Тому вектор r залишається весь час в одній і тій же площині, перпендикулярній до напрямку L. Отже, рух матеріальної точки в центральному полі сил відбуватиметься по кривій, що лежить в площині, що проходить через центр сил.

Залежно від знака центральних сил (т. Е. Від того, є вони силами тяжіння або відштовхування), а також від початкових умов траєкторія являє собою гіперболу, параболу або еліпс (зокрема, окружність). Наприклад, Земля рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої поміщається Сонце.

Закон збереження моменту імпульсу. Розглянемо систему з N матеріальних точок. Подібно до того, як це робилося в §23, розіб'ємо сили, що діють на точки, на внутрішні і зовнішні. Результуючий момент внутрішніх сил, що діють на i-ю матеріальну точку, позначимо символом. результуючий момент зовнішніх сил, що діють на ту ж точку, - символом М i. Тоді рівняння (37.6) для i-ї матеріальної точки матиме вигляд:

Це вираз являє собою сукупність N рівнянь, що відрізняються один від одного значеннями індексу i. Склавши ці рівняння, отримаємо:

називається моментом імпульсу системи матеріальних точок.

Сума моментів внутрішніх сил [перша з сум в правій частині формули (37.9)], як було показано в кінці §36, дорівнює нулю. Отже, позначивши сумарний момент зовнішніх сил символом М, можна написати, що

[В символи L і М в цій формулі вкладений інший зміст, ніж в такі ж символи в формулі (37.6)].

Для замкнутої системи матеріальних точок М = 0, внаслідок чого сумарний момент імпульсу L не залежить від часу. Таким чином, ми прийшли до закону збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи матеріальних точок залишається постійним.

Відзначимо, що момент імпульсу залишається постійним і для системи, яка піддається зовнішнім впливам, за умови, що сумарний момент зовнішніх сил, що діють на тіла системи, дорівнює нулю.

Взявши від векторів, що стоять в лівій і правій частинах рівняння (37.11), їх складові по осі z. прийдемо до співвідношення:

Може трапитися, що результуючий момент зовнішніх сил щодо точки Про відмінний від нуля (М ≠ 0), однак дорівнює нулю складова М z вектора М по деякому напрямку z. Тоді згідно (37.12) буде зберігатися складова Lz моменту імпульсу системи по осі z.

[1] Відповідно до формули (2 .1 1)

де -проекція на вісь z вектора. а Lz - проекція на вісь z вектора L. Помножимо обидві частини рівності на орт ez осі z і, врахувавши, що ez від t не залежить, внесемо його в правій частині під знак похідної. В результаті отримаємо:

Але твір ez на проекцію вектора на вісь z дає складову цього вектора по осі z (див. Виноску на стор. 132). отже,

де - складова пo осі z вектора.